プライムエンド

数学において、素端コンパクト化は、適切な方法で境界円を追加することによって位相ディスク（つまり、平面内の単連結な開集合）をコンパクト化する方法である。

歴史的記録

素端の概念は、コンスタンティン・カラテオドリによって、複素平面における等角写像の境界挙動を幾何学的に記述するために導入されました。^[1] この理論は、より一般的な開集合に一般化されています。^[2]エプスタイン (1981) の解説論文は、この理論を完全な証明とともにわかりやすく説明しています。また、任意の開集合と次元で意味をなす定義も紹介しています。^[2]ミルナー (2006) は、複雑な動的システムのコンテキストで素端をわかりやすく紹介しています。

正式な定義

$領域B$ の素端の集合は、 $B$ の境界上の点に収束する弧の連鎖の同値類の集合です。

$このように、境界上の点はB$ の素端の多くの点に対応する可能性があり、逆に境界上の多くの点は $B$ の素端の1つの点に対応する可能性があります。^[3]

アプリケーション

等角写像における境界間の対応に関するカラテオドリの主定理は次のように表現できます。

$ƒ が$ 単位円を領域 $B$ に等角かつ 1 対 1 で写像する場合、単位円上の点と $B$ の素端の間に1 対 1 の写像が誘導されます。

注記

^ (エプスタイン1981、385ページ)。
^ ab (エプスタイン1981、§2)。
^ 「弧の連鎖」の概念とその同値類のより正確で正式な定義は、引用された参考文献に記載されています。

参考文献

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エプスタイン、DBA（1981年5月3日）、「Prime Ends」、ロンドン数学会紀要、s3-42（3）、オックスフォード：オックスフォード大学出版局：385-414、doi：10.1112/plms/s3-42.3.385、MR 0614728、Zbl 0491.30027。
ミルナー、ジョン(2006) [1999]、「1つの複素変数のダイナミクス」、数学研究年報、第160巻（第3版）、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局、pp. viii+304、doi：10.1515/9781400835539、ISBN 0-691-12488-4、MR 2193309、Zbl 1281.37001, ISBN 978-0-691-12488-9 ,
「極限要素」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

[1] (エプスタイン1981、385ページ)。

[Epst.1981.par2-2] (エプスタイン1981、§2)。

[3] 「弧の連鎖」の概念とその同値類のより正確で正式な定義は、引用された参考文献に記載されています。