ベアリング

抽象代数学と関数解析において、 ベール環、ベール*-環、リカート環、リカート*-環、AW*-代数は、様々な集合の消滅に関する公理を使用して、フォン・ノイマン代数の代数類似物を与える様々な試みである。

任意のフォン・ノイマン代数はベール*環であり、フォン・ノイマン代数における射影の理論の多くはすべてのベール*環に拡張できます。たとえば、ベール*環はフォン・ノイマン代数と同じようにタイプ I、II、III に分けることができます。

文献では、左リカート環は左PP 環とも呼ばれています。(「主環は射影環を意味する」: 以下の定義を参照してください。)

• 環の冪等元とは、 e ² = eという性質を持つ元eのことです。
• 集合の左消滅は${\displaystyle X\subseteq R}$${\displaystyle \{r\in R\mid rX=\{0\}\}}$
• (左) リカート環は、以下 の条件のいずれかを満たす環です。

1. Rの任意の単一元の左消滅子は、（左イデアルとして）冪等元によって生成される。
2. (単位環の場合) 任意の元の左消滅子はRの直和項です。
3. すべての主左イデアル（ Rxの形のイデアル）は射影 R加群である。^[1]

• Baerリングには 次の定義があります。

1. Rの任意の部分集合の左消滅は、（左イデアルとして）べき等元によって生成されます。
2. （単位環の場合） Rの任意の部分集合の左消滅子はRの直和分である。^[2] 単位環の場合、すべての「左」を「右」に置き換えると同等の定義が得られる。つまり、定義は左右対称である。^[3]

作用素論では、環Rに反転 が 必要であるとすることで定義が若干強化されます。これによりR は反対の環R ^opと同型になるため、リカート * 環の定義は左右対称になります。 ${\displaystyle *:R\rightarrow R}$

• *-環への射影は、自己随伴な冪等なpです( p * = p )。
• Rickart *-環は、任意の元の左消滅が射影によって生成される（左イデアルとして）*-環です。
• Baer *-環は、任意の部分集合の左消滅が射影によって（左イデアルとして）生成される *-環です。
• カプランスキー(1951)によって導入されたAW*-代数は、ベーア* -環でもあるC*-代数である。

• 左遺伝環または左半遺伝環の主左イデアルは射影的であるため、両方のタイプが左リカルト環であることは明らかです。これには、左半遺伝と右半遺伝であるフォン ノイマン正則環が含まれます。フォン ノイマン正則環Rが右または左自己入射的でもある場合、Rは Baer です。
• 任意の半単純環は Baer です。なぜなら、すべての左イデアルと右イデアルはRの加数であり、消滅子も含まれるからです。
• 0 の消滅子であるR を除くすべての消滅子は Baerであり、 とR は両方ともRの加数であるため、任意の領域はBaer です。${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{0\}}$
• ヒルベルト空間上の有界線型作用素の環はベール環であり、また随伴関数によって与えられる反転 * を持つベール * 環でもある。
• フォン・ノイマン代数は、上記のさまざまな種類の環の例です。

リカート環の射影は格子を形成し、環がベーア環であれば 格子は完全である。

• ベーア*-半群

• ベア、ラインホルド（1952）、線形代数と射影幾何学、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-486-44565-6、MR  0052795
• ベルベリアン、スターリング K. (1972)、Baer *-rings、Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 195、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-05751-2、MR  0429975
• カプランスキー、アーヴィング(1951)、「バナッハ代数の射影」、数学年報、第 2 シリーズ、53 (2): 235–249、doi :10.2307/1969540、ISSN  0003-486X、JSTOR  1969540、MR  0042067
• Kaplansky, I. (1968)、「Rings of Operators」、ニューヨーク：WA Benjamin, Inc.
• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294
• Rickart, CE (1946)、「随伴演算を伴うバナッハ代数」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、47 (3): 528–550、doi :10.2307/1969091、JSTOR  1969091、MR  0017474
• LA Skornyakov (2001) [1994]、「正則環（フォン・ノイマンの意味で）」、数学百科事典、EMS Press
• LA スコルニャコフ (2001) [1994]、「リカート環」、数学百科事典、EMS プレス
• JDM Wright (2001) [1994]、「AW* 代数」、数学百科事典、EMS プレス