重心

物理学では、空間内の質量分布の質量中心（重心またはバランスポイントと呼ばれることもある）は、分布している質量の加重相対位置の合計がゼロになる特定の時点における唯一の点である。質量中心を含む剛体の場合、これは角加速度なしで直線加速度を引き起こす力を適用できる点である。力学における計算は、質量中心に関して定式化されると簡素化されることが多い。これは、物体の質量全体が集中していると仮定してその動きを視覚化できる仮想的な点である。言い換えれば、質量中心は、ニュートンの運動の法則を適用するための、特定の物体の粒子に相当するものである。^[1]

単一の剛体の場合、質量の中心は物体に対して固定されており、物体の密度が均一であれば、質量の中心は重心に位置します。質量の中心は、馬蹄形などの中空または開いた形状の物体の場合のように、物体の外側に位置することがあります。太陽系の惑星のように、別々の物体が分布している場合、質量の中心は、システムの個々のメンバーの位置に対応しないことがあります。

質量中心は、惑星の線運動量や角運動量、剛体力学など、空間に分布する質量を伴う力学の計算の便利な基準点です。軌道力学では、惑星の運動方程式は質量中心に位置する質点として定式化されます (詳細については、重心 (天文学)を参照してください)。質量中心フレームは、システムの質量中心が座標系の原点に対して静止している慣性フレームです。

重心や重量の概念は、古代ギリシャの数学者、物理学者、技術者 であったシラクサのアルキメデスによって広範に研究された。アルキメデスは、重力が均一な場であるという単純化された仮定を用いて研究し、現在私たちが質量中心と呼んでいるものの数学的特性に到達した。アルキメデスは、てこのさまざまな点に置かれた重りによっててこに及ぼされるトルクは、すべての重りを 1 点、つまり質量中心に移動した場合と同じであることを示した。アルキメデスは著書『浮体について』で、浮体の向きは質量中心が可能な限り低くなる向きであることを実証した。アルキメデスは、さまざまな明確に定義された形状の均一な密度の物体の質量中心を見つけるための数学的手法を開発した。^[2]

質量中心の理論に貢献した他の古代数学者には、アレクサンドリアのヘロンとアレクサンドリアのパップスがいる。ルネサンス期と近世には、グイド・ウバルディ、フランチェスコ・マウロリコ^[3] 、フェデリコ・コマンディーノ^[4 ] 、エヴァンジェリスタ・トリチェリ、シモン・ステヴィン^[5] 、ルカ・ヴァレリオ^[6]、 ジャン＝シャルル・ド・ラ・ファイユ、ポール・グルダン[ ^7]、 ジョン・ウォリス、クリスティアーン・ホイヘンス[ ^8]、 ルイ・カレ、ピエール・ヴァリニョン、アレクシ・クレローらの研究により、この概念はさらに拡張された。^[9]

ニュートンの第二法則はオイラーの第一法則の質量中心に関して再定式化されている。^[10]

質量の中心は、この点に対する重み付けされた位置ベクトルの合計がゼロになるという特性を持つ、空間内の質量分布の中心にある唯一の点です。統計学と同様に、質量の中心は、空間内の質量分布の平均的な位置です。

各々の質量がm _{iである粒子}P _i , i = 1, ...,  nが座標 r _i , i = 1, ...,  nの空間に位置するシステムの場合、質量中心の 座標Rは ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) = 0 を満たします。{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=\mathbf {0} .}  

この式をRについて解くと、式 R = ∑ i = 1 n m i r i ∑ i = 1 n m i . {\displaystyle \mathbf {R} ={\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i} \over \sum _{i=1}^{n}m_{i}}.} が得られます。

質量分布が固体Q内の密度ρ( r )と連続している場合、この体積内の点の重み付き位置座標を質量中心Rに対して体積Vにわたって積分すると0になります。つまり、 $${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=\mathbf {0} .}$$

この方程式を座標Rについて解くと、次の式が得られます 。 ここで、Mは体積内の総質量です。 $${\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} \,dV,}$$

連続的な質量分布が均一な密度を持つ場合、つまりρが一定である場合、質量中心は体積の重心と同じになります。 ^[11]

質量がm ₁とm _{2である2粒子系}P ₁とP ₂の質量中心の座標Rは次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {R} ={{m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}} \over m_{1}+m_{2}}.}$$

これら 2 つの粒子に分割される全質量の割合が100% P ₁および 0% P ₂から 50% P ₁および 50% P ₂を経て0% P ₁および 100% P ₂へと変化すると、質量の中心R はP _1からP ₂への線に沿って移動します。各点の質量の割合は、この線上の点Rの射影座標として考えることができ、重心座標と呼ばれます。ここでのプロセスを解釈する別の方法は、任意の点の周りのモーメントの機械的バランスです。分子は合計モーメントを示し、これは質量中心での同等の合計力によってバランスが取られます。これを 3 点と 4 点に一般化して、それぞれ平面と空間の射影座標を定義できます。

周期境界条件を持つシステム内の粒子の場合、2 つの粒子がシステムの反対側に位置していても、隣接する粒子になることがあります。これは、たとえば、クラスターがランダムな場所に形成され、隣接する原子が周期境界を越えることがある分子動力学シミュレーションでよく発生します。クラスターが周期境界をまたぐ場合、質量中心の単純な計算は不正確になります。周期システムの質量中心を計算するための一般的な方法は、各座標xとyおよび/またはzを、線ではなく円上にあるかのように扱うことです。^[12]計算では、すべての粒子のx座標を取り、それを角度にマッピングします。 ここで、 x _maxはx方向のシステム サイズ、 です。この角度から、2 つの新しい点を生成できます。これらの点には、質量中心の粒子の質量で重み付けするか、幾何学的中心に 1 の値を与えることができます。 $${\displaystyle \theta _{i}={\frac {x_{i}}{x_{\max }}}2\pi }$$${\displaystyle x_{i}\in [0,x_{\max })}$${\displaystyle (\xi _{i},\zeta _{i})}$${\displaystyle x_{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{i}&=\cos(\theta _{i})\\\zeta _{i}&=\sin(\theta _{i})\end{aligned}}}$$

平面では、これらの座標は半径 1 の円上にあります。すべての粒子からのと の値を収集して、平均と が計算されます。 ${\displaystyle (\xi ,\zeta )}$${\displaystyle \xi _{i}}$${\displaystyle \zeta _{i}}$${\displaystyle {\overline {\xi }}}$${\displaystyle {\overline {\zeta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\xi }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\xi _{i},\\{\overline {\zeta }}&={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\zeta _{i},\end{aligned}}}$$ ここで、M はすべての粒子の質量の合計です。

これらの値は新しい角度 にマッピングされ、そこから質量中心の x座標が得られます。${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\theta }}&=\operatorname {atan2} \left(-{\overline {\zeta }},-{\overline {\xi }}\right)+\pi \\x_{\text{com}}&=x_{\max }{\frac {\overline {\theta }}{2\pi }}\end{aligned}}}$$

このプロセスをシステムのすべての次元で繰り返すと、完全な質量中心を決定できます。このアルゴリズムの有用性は、推測したり、クラスター分析を使用して周期境界にまたがるクラスターを「展開」する代わりに、数学によって「最適な」質量中心がどこにあるかを決定できることです。両方の平均値がゼロの場合、は未定義になります。これは、すべての粒子が正確に均等に配置されている場合にのみ発生するため、正しい結果です。その状態では、周期システム内のそれらのx座標は数学的に同一です。 ${\displaystyle \left({\overline {\xi }},{\overline {\zeta }}\right)=(0,0)}$${\displaystyle {\overline {\theta }}}$

物体の重心は、重力による合成トルクが消える点である。 ^[13]重力場が均一であると考えられる場合、質量中心と重心は同じになる。しかし、惑星の周りを周回する衛星の場合、衛星に他のトルクが加わっていないと、惑星に近い方と遠い方（それぞれ重力が強い方と弱い方）の間の重力場のわずかな変化（勾配）によって、衛星の長軸が垂直になるように衛星を整列させるトルクが生じる可能性がある。このような場合、重心と質量中心を区別することが重要です。^[14]両者の間に水平方向のオフセットがあると、トルクが加わります。

質量中心は、特定の剛体（たとえば、揺れや関節がない）の固定された特性ですが、重心は、さらに、不均一な重力場における向きに依存する場合があります。後者の場合、重心は常に質量中心と比較して主な引力物体にいくらか近い位置に配置され、そのため、向きが変わると、対象物体内での位置も変わります。

航空機、車両、船舶の動力学の研究では、力とモーメントを質量中心に対して相対的に解決する必要があります。これは、重力自体を考慮するかどうかに関係なく当てはまります。質量中心を重心と呼ぶのは口語的な表現ですが、一般的に使用されており、重力勾配の影響が無視できる場合、重心と質量中心は同じであり、互換的に使用されます。

物理学において、質量分布をモデル化するために質量中心を使用する利点は、連続体にかかる重力の合力を考慮することでわかります。体積Vの物体Qとその体積内の各点rの密度ρ ( r )を考えます。平行重力場では、各点rの力f は次のように与えられます。 ここで、 dmは点rの質量、gは重力加速度、は垂直方向を定義する単位ベクトルです。 $${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )=-dm\,g\mathbf {\hat {k}} =-\rho (\mathbf {r} )\,dV\,g\mathbf {\hat {k}} ,}$$${\textstyle \mathbf {\hat {k}} }$

体積内の基準点Rを選択し、この点での 合力とトルクを計算する。 F = ∭ Q f ( r ) d V = ∭ Q ρ ( r ) d V ( − g k ^ ) = − M g k ^ 、 {\displaystyle \mathbf {F} =\iiint _{Q}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\,dV\left(-g\mathbf {\hat {k}} \right)=-Mg\mathbf {\hat {k}} 、} および T = ∭ Q ( r − R ) × f ( r ) d V = ∭ Q ( r − R ) × ( − g ρ ( r ) d V k ^ ) = ( ∭ Q ρ ( r ) ( r − R ) d V ) × ( − g k ^ ) 。 {\displaystyle \mathbf {T} =\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \mathbf {f} (\mathbf {r} )\,dV=\iiint _{Q}(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\times \left(-g\rho (\mathbf {r} )\,dV\,\mathbf {\hat {k}} \right)=\left(\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV\right)\times \left(-g\mathbf {\hat {k}} \right).}

基準点R が質量の中心になるように選択されている場合、 結果トルクT = 0となります。結果トルクがゼロであるため、物体は質量の中心に質量が集中した粒子のように動きます。 $${\displaystyle \iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {R} \right)dV=0,}$$

重心を剛体の基準点として選択すると、重力によって体が回転することはなくなり、体の重量が質量の中心に集中しているとみなすことができます。

粒子の集合の線運動量と角運動量は、質量中心に対する粒子の位置と速度を測定することによって簡略化できます。質量m _iの粒子システムP _i , i = 1, ..., nが速度v _iで座標r _iにあるとします。基準点R を選択し、相対位置と速度ベクトルを計算します。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {v} .}$$

系の全線運動量と角運動量は p = d d t ( ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) ) + ( ∑ i = 1 n m i ) v 、 {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {v} 、} で あり、 L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ( ∑ i = 1 n m i ) [ R × d d t ( r i − R ) + ( r i − R ) × v ] + ( ∑ i = 1 n m i ) R × v {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\left[\mathbf {R} \times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} \right]+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {R} \times \mathbf {v} }

R を質量中心として選択する と、これらの方程式は次のように簡略化されます。 ここで、mはすべての粒子の合計質量、pは線形運動量、L は角運動量です。 $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {R} \times \mathbf {v} }$$

運動量保存の法則によれば、外力を受けないあらゆるシステムでは、そのシステムの運動量は一定のままであり、つまり質量の中心は一定の速度で移動する。これは磁場、電場、化学反応など、古典的な内部力を持つすべてのシステムに当てはまる。より正式には、これはニュートンの第3法則に従って相殺されるあらゆる内部力に当てはまる。^[15]

物体の質量の中心を実験的に決定するには、物体にかかる重力を利用し、質量の中心が地球の表面近くの平行重力場の重心と同じであるという事実に基づきます。

対称軸を持ち、密度が一定である物体の質量の中心は、必ずこの軸上に位置します。したがって、密度が一定の円柱の質量の中心は、円柱の軸上にあります。同様に、密度が一定の球対称物体の質量の中心は、球の中心にあります。一般に、物体の対称性は、その対称性の固定点になります。^[16]

質量の中心を見つける実験的な方法としては、物体を2か所から吊り下げ、吊り下げた点から鉛直線を落とすという方法がある。2本の線の交点が質量の中心となる。^[17]

物体の形状はすでに数学的に決定されているかもしれないが、既知の公式を使用するには複雑すぎるかもしれない。この場合、複雑な形状をより単純で基本的な形状に細分化することができ、それらの質量の中心を簡単に見つけることができます。各領域の総質量と質量の中心を決定できる場合、全体の質量の中心は中心の加重平均です。^[18]この方法は、負の質量として説明できる穴のある物体にも適用できます。^[19]

積分計または整数計として知られるプラニメーターの直接的な発展形は、不規則な2次元形状の重心または質量の中心の位置を確立するために使用できます。この方法は、他の方法が困難すぎる不規則で滑らかなまたは複雑な境界を持つ形状に適用できます。これは、船の必要な排水量と浮力の中心を比較し、船が転覆しないことを確認するために造船業者によって定期的に使用されました。 [ ^{20] [21]}

質量中心の3次元座標を見つける実験的方法は、物体を3点で支え、物体の重量に抵抗する力F ₁、F ₂、F ₃を測定することから始まります（は垂直方向の単位ベクトルです）。r ₁、r ₂、r _{3 を}支持点の位置座標とすると、質量中心の座標Rは、結果として生じるトルクがゼロになるという条件を満たします 。 ${\displaystyle \mathbf {W} =-W\mathbf {\hat {k}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {k}} }$$${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{2}+(\mathbf {r} _{3}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{3}=0,}$$$${\displaystyle \mathbf {R} \times \left(-W\mathbf {\hat {k}} \right)=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}.}$$

この式は、水平面における 質量中心R *の座標を次のように表す。$${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-{\frac {1}{W}}\mathbf {\hat {k}} \times (\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\mathbf {r} _{3}\times \mathbf {F} _{3}).}$$

質量の中心は垂直線L上にあり、次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {L} (t)=\mathbf {R} ^{*}+t\mathbf {\hat {k}} .}$$

質量中心の 3 次元座標は、物体を通過する 2 つの異なる水平面でこれらの力が測定されるように物体を配置してこの実験を 2 回実行することによって決定されます。質量中心は、2 つの実験から得られた 2 つの線L ₁とL _{2の交点になります。}

エンジニアは、車の操縦性を向上させるために、つまり、比較的急な旋回をしながらもトラクションを維持できるように、 スポーツカーの重心を下げるように設計しようとします。

米軍のハンビーの特徴的な低い車体は、その低い重心が水平から遠い角度でも4つの車輪で囲まれた空間上に留まるようにすることで、横転することなく背の高い車両よりも大きく傾くことができるように設計されました。

重心は航空機の重要なポイントであり、航空機の安定性に大きく影響します。航空機が安全に飛行できるほど安定していることを保証するには、重心が指定された制限内に収まっている必要があります。重心が前方制限より前にある場合、航空機の操縦性が低下し、離陸時に旋回したり着陸時にフレアしたりできなくなる可能性があります。^[22]重心が後方制限より後ろにある場合、航空機の操縦性は向上しますが、安定性が低下し、飛行が不可能になるほど不安定になる可能性があります。エレベーターのモーメントアームも減少し、失速状態からの回復がより困難になります。^[23]

ホバリング中のヘリコプターの場合、重心は常にローターヘッドの真下にあります。前進飛行中、重心は、サイクリック制御を適用してヘリコプターを前進させることによって生成される負のピッチトルクをバランスさせるために前方に移動します。その結果、巡航中のヘリコプターは水平飛行で「機首を下げて」飛行します。^[24]

質量の中心は天文学や天体物理学において重要な役割を果たしており、一般に重心と呼ばれています。重心とは、2つの物体が互いにバランスをとる点、つまり2つ以上の天体が互いの周りを周回する質量の中心のことです。月が惑星の周りを回ったり、惑星が恒星の周りを回ったりする場合、どちらの天体も実際には主天体（より大きな天体）の中心から離れた点を周回しています。^[25]たとえば、月は地球の正確な中心を周回しているのではなく、地球と月の中心を結ぶ線上の点、つまり地球の表面から約1,710 km（1,062マイル）下の点を周回しており、そこでそれぞれの質量がバランスしています。これは、地球と月が太陽の周りを周回するときに周回する点です。冥王星とカロンのように質量がより似ている場合は、重心は両方の天体の外側になります。

リギング時に重心の位置を知ることは非常に重要であり、誤った想定をすると重傷や死亡につながる可能性があります。重心がリフトポイントと同じかそれより上にあると、転倒事故が発生する可能性が高くなります。一般的に、重心がピックポイントより下にあるほど、リフトは安全です。荷物の移動、荷物の強度と質量、ピックポイント間の距離、ピックポイントの数など、考慮すべき他の事項もあります。特に、リフトポイントを選択するときは、重心を中央に配置し、リフトポイントよりかなり下に配置することが非常に重要です。^[26]

成人の人体の重心は、垂直方向には大腿骨が股関節と結合する転子から 10 cm 上にあり、 ^[27]水平方向には膝から 1.4 cm 前方、転子から 1.0 cm 後方に位置します。^[28]運動学と生体力学において、重心は人間の運動を理解する上で重要なパラメータです。通常、人間の重心は 2 つの方法のいずれかで検出されます。反応ボード法は静的解析で、人がその器具の上に横たわり、静的平衡方程式を使用して重心を見つけます。セグメンテーション法は、特定の軸に対する個々の体の部分のトルクの合計が、同じ軸に対して測定された体を構成するシステム全体のトルクに等しくなければならないという物理的原理に基づく数学的解に依存します。^[29]

重心法は、実行可能領域の重心を利用した凸最適化手法です。

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• 質量中心の運動は、自由落下中の物体の質量中心の運動が点物体の運動と同じであることを示しています。
• 太陽系の重心、各惑星が太陽系の重心に及ぼす影響を示すシミュレーション。