コクセター複合体

数学において、コクセター複体（コクセターこんたい、英: Coxeter complex）は、 HSM コクセターにちなんで名付けられ、コクセター群に関連付けられた幾何学的構造（単体複体）である。コクセター複体は、建物の建設を可能にする基本オブジェクトであり、建物のアパートメントを形成する。

Coxeter 系に関連付けられた Coxeter 複体の構築における最初の要素は、の標準表現と呼ばれる の特定の表現です。 ${\displaystyle (W,S)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

をCoxeter 行列 を持つCoxeter 系とします。標準表現は、形式記号 を基底とするベクトル空間によって与えられ、対称双線形形式 を備えています。特に、 です。の への作用は によって与えられます。 ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle M=(m(s,t))_{s,t\in S}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle (e_{s})_{s\in S}}$${\displaystyle B(e_{s},e_{t})=-\cos \left({\frac {\pi }{m(s,t)}}\right)}$${\displaystyle B(e_{s},e_{s})=1}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle s(v)=v-2B(e_{s},v)e_{s}}$

この表現は、コクセター群の理論においていくつかの基本的な特性を持っています。たとえば、が正定値であるためには、 が有限である必要があります。これはの忠実な表現です。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

この表現は、正定値ではない可能性があるという注意点付きで、反射群として表されます。そのため、表現をその双対 と区別することが重要になります。ベクトルは にあり、対応する双対ベクトル はで与えられ ます。${\displaystyle W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle e_{s}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle e_{s}^{\vee}}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle \langle e_{s}^{\vee },v\rangle =2B(e_{s},v),}$

ここで、山括弧はとの自然な組み合わせを示します。 ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$

今度はに作用し、その作用は次のように表される。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle V^{*}}$

${\displaystyle s(f)=f-\langle f,e_{s}\rangle e_{s}^{\vee },}$

および任意のに対して、 となります。すると は超平面 における反射となります。1 つが基本チャンバー です。これはいわゆる壁 に面しています。その他のチャンバー は変換によって から取得できます。これらは に対してです。 ${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f\in V^{*}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle H_{s}=\{f\in V^{*}:\langle f,e_{s}\rangle =0\}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{f\in V^{*}:\langle f,e_{s}\rangle >0\ \forall s\in S\}}$${\displaystyle H_{s}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle w{\mathcal {C}}}$${\displaystyle w\in W}$

ティッツ円錐は です。これは の全体である必要はありません。 が凸であるという事実は非常に重要です。の閉包はの への作用の基本領域です。 ${\displaystyle X=\bigcup _{w\in W}w{\overline {\mathcal {C}}}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X}$

に対するのCoxeter 複体は であり 、 は正の実数の乗法群です。 ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Sigma (W,S)=(X\setminus \{0\})/\mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

二面体群 （位数 2 n）は、対応するタイプのコクセター群です。これらは、 と表示されます。 ${\displaystyle D_{n}}$${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(n)}$${\displaystyle \left\langle s,t\,\left|\,s^{2},t^{2},(st)^{n}\right\rangle \right.}$

の標準的な線型表現は、平面上の -角形に作用する (この場合は ) 二面体群の通常の反射表現です。たとえば、この場合は、平面上の正三角形に作用するタイプの Coxeter 群が得られます。各反射には、双対ベクトル空間に関連付けられた超平面があります(これは、上記のようにこの場合は内積である双線型形式 を使ってベクトル空間自体と標準的に同一視できます)。これらは壁です。以下に示すように、部屋を切り出します。 ${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle \mathrm {I} _{2}(3)=\mathrm {A} _{2}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle H_{s}}$${\displaystyle B}$

Coxeter 複体は、上の図のように、対応する -gon です。これは次元 1 の単体複体であり、コタイプによって色分けできます。 ${\displaystyle 2n}$

もう 1 つの動機となる例は、無限二面体群 です。これは、整数座標を持つ点の集合を保存する実数直線の対称性の群として見ることができます。これは、およびの反射によって生成されます。この群は、Coxeter 表現 を持ちます。 ${\displaystyle D_{\infty}}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x={1 \over 2}}$${\displaystyle \left\langle s,t\,\left|\,s^{2},t^{2}\right\rangle \right.}$

この場合、 は退化しているため、をその双対空間 と同一視することはできなくなります。そのため、超平面が定義されている のみを扱う方が適切です。これにより、次の図が得られます。 ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V^{*}}$

この場合、ティッツ円錐は平面全体ではなく、上半分の平面のみです。正の実数で商を取ると、整数にマークされた点がある実数直線の別のコピーが生成されます。これが無限二面体群のコクセター複体です。

Coxeter 複体の別の記述では、Coxeter 群の標準剰余類を使用します。標準剰余類は、の適切な部分集合に対してとなる形式の剰余類です。たとえば、および です。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle wW_{J}}$${\displaystyle W_{J}=\langle J\rangle }$${\displaystyle J}$${\displaystyle S}$${\displaystyle W_{S}=W}$${\displaystyle W_{\emptyset }=\{1\}}$

コクセター複体は、逆包含順に並べられた標準剰余類の半集合である。これは、次を満たすすべての半集合と同様に、単体複体の標準構造を持つ。 ${\displaystyle \Sigma (W,S)}$

• 任意の 2 つの要素には最大の下限が存在します。
• 任意の元以下の元の poset は、ある整数 nのサブセットの poset と同型です。${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$

に関連付けられたコクセター複体は次元 を持ちます。W が有限であれば -球面に同相であり、 Wが無限であれば収縮可能です。 ${\displaystyle (W,S)}$${\displaystyle |S|-1}$${\displaystyle (|S|-1)}$

球形のティッツビルの各アパートメントはコクセターコンプレックスです。^[1]

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• Peter Abramenko とKenneth S. Brown 著、「建物、理論と応用」、Springer、2008 年。