シュライアーの改良定理

数学において、群論のシュライアーの細分化定理は、与えられた群の部分群の任意の2 つの非正規級数は同等の細分化を持つことを述べています。ここで、2 つの級数は、それぞれの因数群の間に、各因数群を同型なものに送る一対一関係がある場合に同等です。

この定理は、1928 年に証明したオーストリアの 数学者 オットー・シュライアーにちなんで名付けられました。これは、ジョルダン・ヘルダー定理のエレガントな証明を提供します。これは、ザッセンハウスの補題を使用して証明されることがよくあります。Baumslag (2006) は、1 つの非正規級数の項を他の級数の項と交差させることによって、短い証明を示しています。

を考えてみましょう。ここで は3 次対称群です。交代群はの正規部分群なので、2つの非正規級数が得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle A_{3}}$${\displaystyle S_{3}}$

それぞれの因子群とを持つ。2つ の非正規級数は同等ではないが、同等の精緻化を持つ。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2},S_{3})}$${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

因子群は、およびと 同型である。${\displaystyle (\mathbb {Z} _{2},A_{3},\mathbb {Z} _{2})}$

${\displaystyle \{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{0\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}}$

因子群は と同型です。 ${\displaystyle (A_{3},\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{2})}$

• バウムスラッグ、ベンジャミン (2006)、「ジョーダン＝ヘルダー＝シュライアーの定理を証明する簡単な方法」、アメリカ数学月刊誌、113 (10): 933–935、doi :10.2307/27642092、JSTOR  27642092