ブーケンハウト幾何学

数学において、ビュケンハウト幾何学またはダイアグラム幾何学は、ビュケンハウト (1979) によって導入された射影空間、ティッツ建物、およびその他のいくつかの幾何学的構造の一般化です。

ブーケンハウト幾何学は、要素が「多様体」と呼ばれる集合 Xと、 X上の対称反射関係が「入射」と呼ばれる関係、およびXから要素が「型」と呼ばれ、サイズが「階数」と呼ばれる集合 Δ への「型写像」と呼ばれる関数 τ で構成されます。同じ型の 2 つの異なる多様体は入射できません。

旗は、旗の任意の 2 つの要素が接続される Xのサブセットです。Buekenhout 幾何学は次の公理を満たす必要があります。

• すべてのフラグは、各タイプの 1 つの種類だけを含むフラグに含まれています。

例: X は、一方が他方に含まれる場合に 2 つの部分空間が接続する射影空間の線型部分空間であり、Δ は線型部分空間の可能な次元の集合であり、型写像は線型部分空間をその次元に写します。この場合の旗は部分空間の連鎖であり、各旗はいわゆる完全旗に含まれます。

F が旗である場合、 Fの剰余は、Fに含まれないがFのすべての要素に接続されるXのすべての要素で構成されます。旗の剰余は、明らかに Buekenhout 幾何学を形成します。その型は、Fの型ではないXの型です。少なくとも 2 ランクのすべての剰余がプロパティを持っている場合、幾何学は残余的に何らかのプロパティを持っていると言われます。特に、少なくとも2 ランクのすべての剰余が接続されている (接続関係の場合) 場合、 幾何学は残余接続されていると呼ばれます。

Buekenhout 幾何学の図には各タイプに対応する点があり、2 つの点x、y は、次のようにタイプ { x、y }のランク 2 の留数がどのような幾何学を持つかを示すラベルの付いた線で接続されています。

• 2 階の剰余が二角形である場合、つまり、x型の任意の多様体がy型のあらゆる多様体と接続する場合、 xからyへの直線は省略されます。(これが最も一般的なケースです。)
• 階数 2 の剰余が射影平面である場合、 xからyへの線にはラベルが付けられません。これは次によくあるケースです。
• ランク 2 残基がより複雑な形状である場合、線は何らかの記号でラベル付けされますが、これは著者ごとに異なる傾向があります。

• ブッケンハウト、フランシス（1979）、「幾何学と群の図」、組合せ理論ジャーナル、シリーズA、27（2）：121–151、doi：10.1016/0097-3165（79）90041-4、ISSN  1096-0899、MR  0542524
• Buekenhout, F.編 (1995)、Handbook of Incident Geometry、アムステルダム: North-Holland、ISBN 978-0-444-88355-1、MR  1360715
• Buekenhout, Francis; Cohen, Arjeh M. (2013)、「Diagram Geometry: Related to Classical Groups and Buildings」、Springer。
• キャメロン、ピーター J. (1991)、射影空間と極空間、QMW 数学ノート、第 13 巻、ロンドン: クイーン メアリー アンド ウェストフィールド カレッジ スクール オブ 数学、MR  1153019
• パシーニ、アントニオ（1994）、ダイアグラムジオメトリ、オックスフォードサイエンスパブリケーションズ、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、MR  1318911
• パシーニ、アントニオ (2001) [1994]、「ダイアグラム幾何学」、数学百科事典、EMS プレス

• ウィキメディア・コモンズのビューケンハウト幾何学に関連するメディア