二項変換

二項変換（二項写像、ビットシフト写像、2 x  mod 1写像、ベルヌーイ写像、倍増写像、鋸歯状写像^{[1] [2]}とも呼ばれる）は、写像（すなわち、再帰関係） である。

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty}}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

（ここではからのシーケンスの集合）規則によって生成される ${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$${\displaystyle [0,1)}$

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{すべてに対応 }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$^[3 ]

同様に、二項変換は区分線形関数の反復関数マップとして定義することもできる。

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

ビット シフト マップという名前は、反復の値が2 進表記で記述されている場合、次の反復は 2 進小数点を 1 ビット右にシフトすることによって取得され、新しい 2 進小数点の左側のビットが「1」の場合は、それを 0 に置き換えることから来ています。

二項変換は、単純な 1 次元マップがカオスを生じさせる例です。このマップは、他のいくつかのマップに簡単に一般化できます。重要なマップの 1 つは、 と定義されるベータ変換です。このマップは、多くの著者によって広範に研究されてきました。これは1957 年にAlfréd Rényiによって導入され、その不変測度は1959 年にAlexander Gelfondによって与えられ、 1960 年にBill Parryによって独立に与えられました。 ^{[4] [5] [6]}${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$

マップは、ベルヌーイ過程上の準同型写像として得ることができます。を文字およびのすべての半無限文字列の集合とします。これらは、コインを投げて表か裏が出るものと理解できます。同様に、バイナリ ビットのすべての (半) 無限文字列の空間と書くこともできます。「無限」という単語は「半」で修飾されます。これは、すべての二重無限 (両端) 文字列からなる別の空間を定義することもできるためです。これは、ベイカーのマップにつながります。以下では「半」という修飾語は省略します。 ${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$

この空間には自然なシフト演算があり、次のように表される。

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

ここで、は2進数の無限文字列です。このような文字列が与えられた場合、次のように書きます。 ${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

結果は単位区間内の実数です。シフトにより、単位区間上に準同型（ とも呼ばれます）が誘導されます。 二重無限ビット列の場合、誘導される準同型はベイカー写像であることが簡単にわかります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$

二項列は、単に列

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

つまり、${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

合計は

${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{3^{n+1}}}}$

は、従来定義されているように、カントール関数を与えます。これが、この集合がカントール集合と呼ばれることがある理由の 1 つです。 ${\displaystyle \{H,T\}^{\mathbb {N} }}$

カオスダイナミクスの特徴の 1 つは、シミュレーションの実行時に情報が失われることです。最初の反復の最初のsビットの情報から始めると、 m 回のシミュレーション反復 ( m  <  s ) 後には、 s  −  mビットの情報しか残りません。したがって、反復ごとに 1 ビットの指数関数的な割合で情報が失われます。s 回の反復後、シミュレーションは、実際の反復値に関係なく、固定点 0 に到達します。したがって、情報が完全に失われます。これは、初期条件への敏感な依存性を示しています。つまり、切り捨てられた初期条件からのマッピングは、実際の初期条件からのマッピングから指数関数的にずれています。また、シミュレーションは固定点に到達したため、ほとんどすべての初期条件について、ダイナミクスを定性的に正しくカオスとして記述することはなくなります。

情報損失の概念に相当するのは、情報ゲインの概念です。実際には、現実世界のプロセスによって時間の経過と共に値のシーケンス ( x _n ) が生成されることがありますが、これらの値は切り捨てられた形式でしか観測できない場合があります。たとえば、x ₀ = 0.1001101 であるとしますが、切り捨てられた値 0.1001 しか観測されません。x ₁の予測値は0.001 です。現実世界のプロセスによって真のx ₁値 0.001101 が生成されるまで待つと、切り捨てられた値 0.0011 を観測できます。これは予測値 0.001 よりも正確です。つまり、1 ビットの情報ゲインが得られます。

二項変換は、単位高さテントマップと位相的に半共役である。単位高さテントマップは次のように与えられることを思い出す。

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

共役は次のように明示的に与えられる。

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

となることによって

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

つまり、これは反復計算でも安定しており、 ${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

これはロジスティック写像 のカオスr = 4の場合とも共役である。 ロジスティック写像のr = 4の場合とは、変数xのビットシフト写像と次の式 で関係している。${\displaystyle z_{n+1}=4z_{n}(1-z_{n})}$

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

二項変換（ここでは角度倍増写像と呼ぶ）と二次多項式の間にも半共役性がある。ここで写像は、回転で測定された角度を倍にする。つまり、写像は次のように与えられる。

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

反復をバイナリ表記で見るとダイナミクスの性質が単純なので、初期条件に基づいてダイナミクスを分類するのは簡単です。

初期条件が無理数の場合（単位区間内のほぼすべての点がそうであるように）、ダイナミクスは非周期的になります。これは、無理数が繰り返されない 2 進展開を持つ数として定義されることから直接導かれます。これがカオスの場合です。

x _0が有理数の場合、x ₀の像には[0, 1) の範囲内の有限個の異なる値が含まれ、x ₀の順方向軌道は最終的に周期的になり、その周期はx _0のバイナリ展開の周期に等しくなります。具体的には、初期条件がkビットの有限バイナリ展開を持つ有理数である場合、k回の反復後に反復は固定点 0 に到達します。初期条件がkビットの過渡値 ( k  ≥ 0) の後に無限に繰り返されるqビットのシーケンス ( q  > 1) が続く有理数である場合、k回の反復後に反復は長さqのサイクルに到達します 。したがって、あらゆる長さのサイクルが可能です。

たとえば、11/24 の順軌道は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

これは周期 2 のサイクルに達しています。したがって、[0, 1) の任意の部分区間内では、その小区間がいかに小さくても、軌道が最終的に周期的になる点が無数に存在し、軌道が決して周期的にならない点も無数に存在します。この初期条件への敏感な依存性は、カオス マップの特徴です。

周期軌道と非周期軌道は、マップを直接操作するのではなく、カントール空間で定義されたビットシフトマップを使用すると、より簡単に理解できます。 ${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

つまり、準同型

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}}$

は基本的に、カントール集合が実数に写像できるという主張である。これは全射である。すなわち、あらゆる二項有理数はカントール集合において1つではなく2つの異なる表現を持つ。例えば、

${\displaystyle 0.1000000\dots =0.011111\dots }$

これは有名な0.999... = 1問題のバイナリ文字列版です。2倍表現は一般に成り立ちます。長さ の任意の有限長の初期シーケンスに対して、 ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},1,0,0,0,\dots =b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1},0,1,1,1,\dots }$

初期シーケンスは軌道の非周期部分に対応し、その後反復はすべてゼロ (つまりすべて 1) に落ち着きます。 ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$

ビット列として表現すると、マップの周期軌道は有理数に見ることができます。つまり、 の最初の「混沌とした」シーケンスの後、周期軌道は長さ の繰り返し文字列に落ち着きます。このような繰り返しシーケンスが有理数に対応することは難しくありません。次のように書きます。 ${\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{k-1}}$${\displaystyle b_{k},b_{k+1},b_{k+2},\dots ,b_{k+m-1}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle y=\sum _{j=0}^{m-1}b_{k+j}2^{-j-1}}$

明らかに

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{k+j}2^{-j-1}=y\sum _{j=0}^{\infty }2^{-jm}={\frac {y}{1-2^{-m}}}}$

最初の非繰り返しシーケンスを追加すると、明らかに有理数が得られます。実際、すべての有理数は、最初の「ランダム」シーケンスの後に循環繰り返しが続くという方法で表現できます。つまり、マップの周期軌道は有理数と 1 対 1 で対応しています。

この現象は注目に値します。なぜなら、同様の現象が多くのカオス系で起こるからです。たとえば、コンパクト多様体上の測地線は、このように動作する周期軌道を持つことができます。

ただし、有理数は実数における測度ゼロの集合であることに留意してください。ほぼすべての軌道は周期的ではありません。非周期軌道は無理数に対応します。この特性は、より一般的な設定でも当てはまります。未解決の問題は、周期軌道の動作がシステム全体の動作をどの程度制限するかということです。アーノルド拡散などの現象は、一般的な答えが「それほど制限しない」ことを示唆しています。

マップの作用下での個々の点の軌道を見る代わりに、マップが単位間隔上の密度にどのように影響するかを調べることも同様に価値があります。つまり、単位間隔にほこりをまき散らすと想像してください。場所によっては他の場所よりも密度が高くなります。反復するとこの密度に何が起こるでしょうか?

この密度を と書き、 となる。この密度に対する の作用を得るには、すべての点を見つけて^[7]と書く必要がある。${\displaystyle \rho :[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

上の式の分母は変換のヤコビ行列式ですが、ここでは単にの微分なのでです。また、 の逆像には明らかに と の2点しかありません。これらをまとめると 、${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$${\displaystyle T^{-1}(x)}$${\displaystyle y=x/2}$${\displaystyle y=(x+1)/2.}$

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

慣例により、このような写像は と表記されるので、この場合、 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

この写像は線形演算子であり、単位区間上のすべての関数およびすべての定数に対しておよび であることが簡単にわかります。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$${\displaystyle f,g}$${\displaystyle a}$

を線形演算子として見ると、最も明白で差し迫った疑問は、そのスペクトルは何かということです。 1 つの固有値は明白です。すべて に対して であれば、明らかに が成り立ちます。したがって、一様密度は変換に対して不変です。 これは実際、演算子 の最大の固有値であり、フロベニウス-ペロン固有値です。 一様密度は、実際には、2 項変換の 不変測度に他なりません。${\displaystyle \rho (x)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

のスペクトルをより詳細に調べるには、まず、（単位区間上の）適切な関数空間に限定して作業する必要があります。これは、ルベーグ測定可能関数の空間、または平方積分可能関数の空間、あるいは多項式だけの空間である可能性があります。これらの空間のいずれかを扱うことは、スペクトルを取得することはできますが、驚くほど困難です。^[7]${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$

代わりにカントール空間 、関数を扱うと、大幅な簡略化が実現します。写像 は実数直線の単位区間上に定義され、実数上の自然位相を仮定しているため、注意が必要です。対照的に、写像 はカントール空間上に定義され、慣例により非常に異なる位相、つまり積位相 が与えられます。位相が衝突する可能性があるため、注意が必要です。ただし、上で示したように、カントール集合から実数への準同型性があります。幸い、開集合を開集合に写像するため、連続性の概念が保持されます。 ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \rho :\Omega \to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}}$${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$ ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

カントール集合を​​扱うには、その位相を用意する必要がある。慣例的に、これは積位相である。集合補集合を付加することで、ボレル空間、つまりシグマ代数に拡張することができる。その位相は円筒集合の位相である。円筒集合は、一般的な形式を持つ。 ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle (*,*,*,\dots ,*,b_{k},b_{k+1},*,\dots ,*,b_{m},*,\dots )}$

ここで、は任意のビット値（必ずしもすべて同じではない）であり、は無限のビット列に散在する有限個の特定のビット値である。これらは位相の開集合である。この空間の標準的な測度は、公平なコイントスのベルヌーイ測度である。任意の位置の列に1ビットだけ指定されている場合、測度は1/2である。2ビットが指定されている場合、測度は1/4、などである。さらに凝ったこともできる。実数が与えられた場合、測度を定義できる。 ${\displaystyle *}$${\displaystyle b_{k},b_{m},\dots }$${\displaystyle 0<p<1}$

${\displaystyle \mu _{p}(*,\dots ,*,b_{k},*,\dots )=p^{n}(1-p)^{m}}$

シーケンスに表と裏がある場合。マップによって保存されるため、 の測定が推奨されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p=1/2}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

たとえば、は区間にマップされ、 は区間 にマップされ、これらの区間は両方とも 1/2 の測定値を持ちます。同様に、は区間 にマップされ、測定値は依然として 1/2 です。つまり、上記の埋め込みは測定値を保存します。 ${\displaystyle (0,*,\cdots )}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle (1,*,\dots )}$${\displaystyle [1/2,1]}$${\displaystyle (*,0,*,\dots )}$${\displaystyle [0,1/4]\cup [1/2,3/4]}$

代わりに次のように書くこともできます

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\dots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }\left[b_{n}p^{n+1}+(1-b_{n})(1-p)^{n+1}\right]}$

これは測度を保存します。つまり、単位区間上の測度が再びルベーグ測度になるようにマッピングします。 ${\displaystyle \mu _{p}.}$

カントール集合上のすべての開集合の集合を で表し、任意の関数全体の集合を考える。シフトはプッシュフォワードを引き起こす。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle f\circ T^{-1}}$

によって定義される。これもまた何らかの関数である。このようにして、写像は全ての関数の空間上に別の写像を誘導する。つまり、何らかの が与えられたとき、定義される。 ${\displaystyle \left(f\circ T^{-1}\right)\!(x)=f(T^{-1}(x)).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}f=f\circ T^{-1}}$

この線形演算子は転送演算子またはルーレ・フロベニウス・ペロン演算子と呼ばれます。最大の固有値はフロベニウス・ペロン固有値であり、この場合は1です。関連する固有ベクトルは不変測度であり、この場合はベルヌーイ測度です。また、${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(\rho )=\rho }$${\displaystyle \rho (x)=1.}$

のスペクトルを得るためには、空間の適切な基底関数の集合を与える必要があります。そのような選択肢の1つは、すべての多項式の集合に制限することです。この場合、演算子は離散スペクトルを持ち、固有関数は（奇妙なことに）ベルヌーイ多項式です！^[8]（この命名の偶然の一致は、おそらくベルヌーイには知られていなかったでしょう。） ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

確かに、それは簡単に証明できる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}B_{n}=2^{-n}B_{n}}$

ここで、 はベルヌーイ多項式である。これは、ベルヌーイ多項式が次の恒等式に従うためである。 ${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}B_{n}\!\left({\frac {y+1}{2}}\right)=2^{-n}B_{n}(y)}$

ご了承ください${\displaystyle B_{0}(x)=1.}$

もう1つの基底はハール基底によって提供され、空間を張る関数はハールウェーブレットです。この場合、複素平面上の単位円板 からなる連続スペクトル が見つかります。単位円板 で与えられ、 となるため、関数 ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle |z|<1}$

${\displaystyle \psi _{z,k}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}\exp i\pi (2k+1)2^{n}x}$

従う

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\psi _{z,k}=z\psi _{z,k}}$

これは完全な基底であり、すべての整数は次のように表すことができます。ベルヌーイ多項式は次のように設定することで復元されます。${\displaystyle k\in \mathbb {Z} .}$${\displaystyle (2k+1)2^{n}.}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle z={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},\dots }$

完全な基底は他の方法でも与えられ、フルヴィッツゼータ関数で表すこともできます。別の完全な基底は、タカギ関数によって与えられます。これはフラクタルで微分不可能な関数です。固有関数は明示的に次の形式になります。

${\displaystyle {\mbox{blanc}}_{w,k}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s((2k+1)2^{n}x)}$

三角波はどこにありますか。また、 ${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}{\mbox{blanc}}_{w,k}=w\;{\mbox{blanc}}_{w,k}.}$

これらの異なる基数はすべて、互いの線形結合として表現できます。この意味では、それらは同等です。

フラクタル固有関数は、モジュラー群のフラクタル群準の下で明示的な対称性を示します。これは、高木関数(ブランマンジェ曲線)に関する記事で詳しく説明されています。驚くことではないかもしれませんが、カントール集合には、まったく同じ対称性のセットがあります (連分数も同様です)。これは、楕円方程式とモジュラー形式の理論にうまくつながります。

周期境界条件を持つゼロ磁場1次元スピンイジング模型のハミルトニアンは次のように書ける。 ${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

が適切に選択された正規化定数であり、がシステムの温度の逆数であるとすると、このモデルの分配関数は次のように与えられる 。${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

繰り込み群は、スピンを一つおきに積分することで実装できる。そうすることで、スピンが一つしかない小さなシステムの分割関数と等しくなることがわかる。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

とを正規化された値に置き換え、次の式を満たすものとする。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \beta g}$${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

ここで、 が複素数であり、ある に対してであると仮定します。その場合、に関連するパラメータを次の式で 導入できます。${\displaystyle \beta g}$${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle t\in [0,1)}$${\displaystyle \beta g}$

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

そして、結果として得られる繰り込み群変換は、まさに二項写像となる：^[9]${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

• ベルヌーイ過程
• ベルヌーイ方式
• ギルバート・シャノン・リードモデルは、単位区間上のn個の一様ランダム点の集合に倍加写像を適用することによって与えられる順列上のランダム分布である。