航空機の飛行力学

飛行力学は、航空機の方向と制御を3次元で扱う科学です。飛行力学の重要な3つのパラメータは、機体の重心（CG）の周りの3次元の回転角度で、ピッチ、ロール、ヨーと呼ばれます。これらは総称して航空機の姿勢と呼ばれ、通常飛行では主に大気圏を基準としますが、離陸や着陸時、または低高度で飛行しているときは地形を基準とします。姿勢の概念は固定翼航空機に特有のものではなく、ヘリコプターや飛行船などの回転翼航空機にも適用されます。回転翼航空機では、姿勢の確立と制御に関わる飛行力学がまったく異なります。

制御システムは、重心を中心とした機体の向きを調整します。制御システムには、偏向すると重心を中心としたモーメント (またはエルロンからの結合) が生成され、航空機がピッチ、ロール、ヨー方向に回転します。たとえば、ピッチング モーメントは、重心の前方または後方に離れた位置から加えられる力によって発生し、航空機を上下にピッチングさせます。

固定翼航空機は、迎え角(AOA)を増減することで、機首を上げ下げしたときに翼によって生成される揚力を増減します。ロール角は固定翼航空機ではバンク角とも呼ばれ、通常は水平飛行方向を変更するために「バンク」します。航空機は抗力を減らすために機首から尾部まで流線型になっており、横滑り角をほぼゼロに保つのが有利ですが、着陸時に抗力と降下率を増やすため、横風着陸時および非対称出力での飛行中に航空機の進行方向を滑走路の進行方向と同じに保つために航空機を意図的に「横滑り」させることもあります。^[1]

ロール、ピッチ、ヨーは、定義された安定した飛行平衡状態から始まる、それぞれの軸を中心とした回転を指します。平衡ロール角は、翼レベルまたはゼロバンク角として知られています。

最も一般的な航空慣習では、ロールは縦軸を中心に作用するものと定義され、右翼が下がっているときが正です。ヨーは垂直の機体軸を中心に作用するもので、機首が右を向いているときが正です。ピッチは縦対称面に垂直な軸を中心に作用するもので、機首が上を向いているときが正です。^[2]

飛行力学では、 3 つの右手系直交座標系が頻繁に使用されます。最初の座標系は、地球の基準フレームに固定された原点を持ちます。

• 地球フレーム
  • 原点 - 地球の表面に対して任意に固定
  • x _E軸 -北方向が正
  • y _E軸 -東方向が正
  • z _E軸 - 地球の中心に向かって正

多くの飛行力学アプリケーションでは、地球フレームは慣性で平坦なx _E、y _E平面であると想定されていますが、地球フレームは地球の中心を原点とする 球面座標系と見なすこともできます。

他の 2 つの参照フレームは機体に固定されており、原点は航空機とともに移動し、通常は重心にあります。右から左に対称な航空機の場合、フレームは次のように定義できます。

• ボディフレーム
  • 原点 - 飛行機の重心
  • x _b軸 - 航空機の対称面における航空機の機首の正方向
  • z _b軸 - x _b軸に垂直で、航空機の対称面にあり、航空機の下側が正
  • y _b軸 - x _b、z _b平面に垂直、右手の法則によって正が決定されます（通常、右翼が正になります）
• 風フレーム
  • 原点 - 飛行機の重心
  • x _w軸 - 空気に対する航空機の速度ベクトルの方向が正
  • z _w軸 - x _w軸に垂直、航空機の対称面にあり、航空機の下側が正
  • y _w軸 - x _w、z _w平面に垂直、右手の法則によって正が決定されます（一般的には右が正）

非対称の航空機には類似の機体固定フレームがありますが、x 軸とz軸の正確な方向を選択するには異なる規則を使用する必要があります。

地球フレームは、航空機の並進運動と回転運動を表現するのに便利なフレームです。地球フレームは、特定の仮定の下で慣性として近似できるという点でも便利です。さらに、航空機に作用する 1 つの力、つまり重量は、+ z _E方向に固定されています。

機体フレームは、原点と軸が航空機に対して固定されているため、関心の対象になることがよくあります。つまり、地球と機体フレームの相対的な向きが航空機の姿勢を表します。また、推力の方向は一般に機体フレーム内で固定されていますが、一部の航空機では、推力ベクトル制御などによりこの方向を変えることができます。

風フレームは、航空機に作用する空気力とモーメントを表現するのに便利なフレームです。特に、純空気力は、風フレーム軸に沿った成分に分割でき、抗力は- x _w方向、揚力は- z _w方向になります。

参照フレームを定義することに加えて、参照フレームの相対的な方向を決定することもできます。相対的な方向は、次のようなさまざまな形式で表現できます。

• 回転行列
• 方向余弦
• オイラー角
• クォータニオン

3 つの基準フレームに関連するさまざまなオイラー角は、飛行力学にとって重要です。オイラー角の規則は多数存在しますが、以下に示す回転シーケンスはすべてzy'-x"規則を使用します。この規則は、一般にオイラー角と呼ばれる一種のTait-Bryan 角に対応しています。この規則は、地球フレームに対するボディ フレームの向きを表すロール、ピッチ、ヨーのオイラー角について、以下で詳しく説明します。その他のオイラー角のセットについては、以下で類推して説明します。

• まず、地球フレームの軸x _Eとy _{E を、} z _E軸を中心にヨー角ψだけ回転させます。これにより、 x '、y '、z ' （ z'=z _{E ）}で示される軸を持つ中間参照フレームが生成されます。
• 次に、x ' 軸とz '軸をy '軸を中心にピッチ角θだけ回転させます。これにより、 x",y",z"（y"=y ' ）で示される軸を持つ別の中間参照フレームが生成されます。
• 最後に、y"軸とz"軸をx"軸を中心にロール角φだけ回転させます。3 回の回転後に得られる参照フレームがボディ フレームです。

上記の回転と軸の規則に基づいて:

• ヨー角ψ: 北と航空機の縦軸の水平面への投影との間の角度。
• ピッチ角θ：航空機の縦軸と水平軸の間の角度。
• ロール角φ:ヨーとピッチによる回転後の航空機の縦軸を中心とした回転。

• 方位角σ: 北と速度ベクトルの水平成分との間の角度。これは、航空機が基本方向に対してどの方向に移動しているかを示します。
• 飛行経路角度γ: 水平と速度ベクトルの間の角度であり、航空機が上昇しているか下降しているかを表します。
• バンク角 μ: 速度ベクトルの周りの揚力の回転を表し、飛行機が旋回しているかどうかを示します。

地球フレームから物体フレームを取得するために上記の回転を実行すると、角度の間に次の類似点があります。

• σ、ψ （方向とヨー）
• γ、θ （飛行経路とピッチ）
• μ、φ（バンク対ロール）

• 横滑り角 β：速度ベクトルと航空機の縦軸のxw、yw平面への投影との間の角度_。航空機_の速度に横方向の成分があるかどうかを表します。

• 迎え角 α：xw、yw平面と航空機の縦軸との間の角度であり、とりわけ_揚力の大きさを決定する重要な変数である_。

前述の回転を実行して地球フレームから物体フレームを取得する場合、角度の間には次の類似点があります。

• β、ψ （横滑り対ヨー）
• α、θ（アタック対ピッチ）
• (φ = 0) (ロールに対して何もしない)

したがって、3 つの参照フレームの間には次のような類似点があります。

• ヨー / 方向 / 横滑り (Z 軸、垂直)
• ピッチ / 飛行経路 / 迎え角（Y軸、翼）
• ロール / バンク / なし（X軸、ノーズ）

航空機の安定性を解析する場合、通常は定常飛行状態に関する変動を考慮します。したがって、解析は、たとえば次の仮定に基づいて適用されます。

直線飛行と水平飛行

一定速度で回転する

アプローチと着陸

脱ぐ

速度、高度、トリム迎え角は飛行条件ごとに異なり、さらに航空機の構成も異なります。たとえば、低速時にはフラップが展開され、着陸装置が下がっている場合があります。

非対称設計（または大きな横滑りがある対称設計）を除き、縦方向の運動方程式（ピッチ力と揚力を含む）は、横方向の運動（ロールとヨーを含む）とは独立して扱うことができます。

以下では、名目上の直線水平飛行経路に関する摂動を考慮します。

解析を（比較的）単純にするために、操縦面は動作中ずっと固定されていると仮定します。これがスティック固定安定性です。スティックフリー解析では、操縦面の動作を考慮するというさらに複雑な作業が必要になります。

さらに、飛行は静止した空気中で行われるものと想定され、航空機は剛体として扱われます。

飛行中の航空機には、重量、推力、空気力の3 つの力が作用します。

空気力を計算する式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {F} _{A}=\int _{\Sigma }(-\Delta p\mathbf {n} +\mathbf {f} )\,d\sigma }$

どこ：

${\displaystyle \Delta p\equiv }$静圧と自由流圧の違い

${\displaystyle \mathbf {n} \equiv }$面積要素の外側法線ベクトル

${\displaystyle \mathbf {f} \equiv }$空気が体に及ぼす接線方向の応力ベクトル

${\displaystyle \Sigma \equiv }$適切な基準面

風軸に投影すると次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {F} _{A}=-(\mathbf {i} _{w}D+\mathbf {j} _{w}Q+\mathbf {k} _{w}L)}$

どこ：

${\displaystyle D\equiv }$ドラッグ

${\displaystyle Q\equiv }$横方向の力

${\displaystyle L\equiv}$リフト

• 自由流の動圧${\displaystyle \equiv q={\tfrac {1}{2}}\,\rho \,V^{2}}$

適切な基準面（飛行機の場合は翼面）${\displaystyle \equiv S}$

• 圧力係数 ${\displaystyle \equiv C_{p}={\dfrac {p-p_{\infty }}{q}}}$

• 摩擦係数 ${\displaystyle \equiv C_{f}={\dfrac {f}{q}}}$

• 抗力係数 ${\displaystyle \equiv C_{d}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf { n} \cdot \mathbf {i_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \cdot \mathbf {i_{w}} ]\,d\sigma }$

• 横力係数${\displaystyle \equiv C_{Q}={\dfrac {Q}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf { n} \cdot \mathbf {j_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \cdot \mathbf {j_{w}} ]\,d\sigma }$

• 揚力係数 ${\displaystyle \equiv C_{L}={\dfrac {L}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }[(-C_{p})\mathbf {n} \cdot \mathbf {k_{w}} +C_{f}\mathbf {t} \cdot \mathbf {k_{w}} ]\,d\sigma }$

検討対象の表面上のすべての点におけるC _pと C _{f を}知る必要があります。

熱の影響がない場合、注目すべき無次元数が 3 つあります。

• 流れの圧縮性:

マッハ数 ${\displaystyle \equiv M={\dfrac {V}{a}}}$

• 流れの粘度:

レイノルズ数 ${\displaystyle \equiv Re={\dfrac {\rho Vl}{\mu }}}$

• 流れの希薄化:

クヌーセン数 ${\displaystyle \equiv Kn={\dfrac {\lambda }{l}}}$

どこ：

${\displaystyle a={\sqrt {kR\theta }}\equiv }$音速​

${\displaystyle k\equiv }$ 比熱比

${\displaystyle R\equiv }$ 質量単位によるガス定数

${\displaystyle \theta \equiv }$絶対温度​

${\displaystyle \lambda ={\dfrac {\mu }{\rho }}{\sqrt {\dfrac {\pi }{2R\theta }}}={\dfrac {M}{Re}}{\sqrt {\dfrac {k\pi }{2}}}\equiv }$ 平均自由行程

λ によれば、3 つの希薄化度があり、それに対応する動きは次のように呼ばれます。

• 連続電流（希薄化は無視できる）:${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\ll 1}$
• 遷移電流（中程度の希薄化）:${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\approx 1}$
• 自由分子電流（高希薄化）:${\displaystyle {\dfrac {M}{Re}}\gg 1}$

飛行力学では、流れの中の物体の運動は連続流として考えられます。物体を取り囲む空間の外側の層では、粘性は無視できます。ただし、境界層の近くの流れを解析する場合は、粘性の影響を考慮する必要があります。

流れの圧縮性に応じて、さまざまな種類の流れを考慮することができます。

• 非圧縮性亜音速流:${\displaystyle 0<M<0.3}$
• 圧縮性亜音速流:${\displaystyle 0.3<M<0.8}$
• 遷音速流:${\displaystyle 0.8<M<1.2}$
• 超音速流:${\displaystyle 1.2<M<5}$
• 極超音速流:${\displaystyle 5<M}$

物体の形状が固定されており、対称飛行の場合（β = 0、Q = 0）、圧力係数と摩擦係数は次の要素に依存する関数です。

${\displaystyle C_{p}=C_{p}(\alpha ,M,Re,P)}$

${\displaystyle C_{f}=C_{f}(\alpha ,M,Re,P)}$

どこ：

${\displaystyle \alpha \equiv }$ 迎え角

${\displaystyle P\equiv }$表面上の点と考えられる

これらの条件下では、抗力係数と揚力係数は、物体の迎え角とマッハ数およびレイノルズ数にのみ依存する関数です。揚力係数と抗力係数の関係として定義される空力効率も、これらのパラメータに依存します。

${\displaystyle {\begin{cases}C_{D}=C_{D}(\alpha ,M,Re)\\C_{L}=C_{L}(\alpha ,M,Re)\\E=E(\alpha ,M,Re)={\dfrac {C_{L}}{C_{D}}}\\\end{cases}}}$

抗力係数の揚力係数に対する依存性を得ることも可能である。この関係は抗力係数方程式として知られている。

${\displaystyle C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)\equiv }$抗力係数方程式

空気力学的効率は、座標原点からの接線が抗力係数方程式のプロットに接する C _Lに対して最大値 E _{max を持ちます。}

抗力係数 C _{D は}2 つの方法で分解できます。最初の典型的な分解では、圧力と摩擦の影響を分離します。

${\displaystyle C_{D}=C_{Df}+C_{Dp}{\begin{cases}C_{Df}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }C_{f}\mathbf {t} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \\C_{Dp}={\dfrac {D}{qS}}=-{\dfrac {1}{S}}\int _{\Sigma }(-C_{p})\mathbf {n} \bullet \mathbf {i_{w}} \,d\sigma \end{cases}}}$

抗力係数方程式の定義を考慮した 2 番目の典型的な分解があります。この分解では、方程式の揚力係数の影響を分離し、2 つの項 C _D0と C _Diを取得します。C _D0は寄生抗力係数と呼ばれ、ゼロ揚力での基本抗力係数です。C _{Di は}誘導抗力係数と呼ばれ、ボディの揚力によって生成されます。

${\displaystyle C_{D}=C_{D0}+C_{Di}{\begin{cases}C_{D0}=(C_{D})_{C_{L}=0}\\C_{Di}\end{cases}}}$

誘導抗力係数を求める良い方法は、揚力の放物線依存性を仮定することである。

${\displaystyle C_{Di}=kC_{L}^{2}\Rightarrow C_{D}=C_{D0}+kC_{L}^{2}}$

空気力学的効率は次のように計算されます。

${\displaystyle E={\dfrac {C_{L}}{C_{D0}+kC_{L}^{2}}}\Rightarrow {\begin{cases}E_{max}={\dfrac {1}{2{\sqrt {kC_{D0}}}}}\\(C_{L})_{Emax}={\sqrt {\dfrac {C_{D0}}{k}}}\\(C_{Di})_{Emax}=C_{D0}\end{cases}}}$

飛行機の構成が XY 平面に対して対称である場合、最小抗力係数は飛行機の寄生抗力に等しくなります。

${\displaystyle C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}}$

ただし、構成が XY 平面に対して非対称である場合、最小抗力は寄生抗力とは異なります。これらのケースでは、最小抗力値を揚力値ゼロのままにして、新しい近似放物線抗力方程式をトレースできます。

${\displaystyle C_{Dmin}=C_{DM}\neq (C_{D})_{CL=0}}$

${\displaystyle C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM})^{2}}$

圧力係数はマッハ数に応じて以下の関係で変化します。 ^[4]

${\displaystyle C_{p}={\frac {C_{p0}}{\sqrt {|1-{M_{\infty }}^{2}|}}}}$

どこ

• C _pは圧縮圧力係数である。
• C _p0は非圧縮 圧力係数である
• M _{∞ は}自由流マッハ数です。

この関係は、0.3 < M < 0.7 の場合、かなり正確ですが、M = 1の場合は、物理的に不可能な ∞ となり、プラントル・グラウエルト特異点と呼ばれます。

空気力を参照

安定性とは、航空機が飛行経路の乱れに対抗する能力です。

デイビッド・P・デイヴィスによれば、航空機の安定性には速度安定性、スティックフリーの静的縦安定性、静的横安定性、方向安定性、振動安定性、螺旋安定性の6つのタイプがある。^{[5] : 164}

巡航飛行中の航空機は通常、速度が安定しています。速度が増加すると抗力が増加し、速度はその構成と推力設定の平衡速度に戻ります。速度が減少すると抗力も減少し、航空機は推力が抗力と等しくなる平衡速度まで加速します。

しかし、低速飛行では、揚力誘導抗力により、速度が低下すると抗力が増加します (逆もまた同様)。これは、「抗力曲線の後ろ」として知られています。速度が低下するとさらに速度が低下するため、航空機の速度は不安定になります。

縦方向の安定性とは、機体のピッチの安定性を指します。安定した機体の場合、機体がピッチアップすると、翼と尾翼がピッチダウン モーメントを生成し、機体を元の姿勢に戻そうとします。不安定な機体の場合、ピッチの乱れによりピッチ モーメントが増加します。縦方向の静的安定性とは、機体が最初の乱れから回復する能力です。縦方向の動的安定性とは、これらの安定化モーメントを減衰させることで、ピッチの持続的または増大する振動を防ぐことです。

方向安定性または風見安定性は、Z 軸周りの飛行機の静的安定性に関係します。縦方向安定性の場合と同様に、飛行機は何らかのヨーイング外乱を受けたときに平衡状態に戻る傾向があることが望ましいです。このためには、ヨーイング モーメント曲線の傾斜が正である必要があります。このモードの安定性を持つ飛行機は常に相対風の方向を向きます。そのため、風見安定性と呼ばれます。

縦方向の運動を記述する4 次特性方程式を導出し、それを近似的に高周波モードと低周波モードに因数分解するのが一般的な方法です。ここで採用されているアプローチは、航空機の挙動に関する定性的な知識を使用して最初から方程式を簡素化し、よりアクセスしやすい方法で結果に到達するというものです。

2 つの縦方向の運動 (モード) は、短周期ピッチ振動 (SPPO) とフゴイド振動と呼ばれます。

ピッチ（標準構成の固定翼航空機では一般的にエレベーター経由）への短い入力（制御システム用語ではインパルス）は、通常、トリム状態付近でのオーバーシュートにつながります。遷移は、新しいトリム付近での減衰した 単振動によって特徴付けられます。振動が減衰するまでの時間にわたって、軌道にはほとんど変化がありません。

一般的にこの振動は高周波（したがって短周期）であり、数秒の期間にわたって減衰します。実際の例としては、パイロットが新しい上昇姿勢、たとえば元の姿勢から 5° 機首上げを選択することが挙げられます。操縦桿を短く急激に引き戻す操作が使用される場合があり、これは通常、新しいトリム状態に関する振動につながります。振動が十分に減衰されない場合、航空機が新しい状態に安定するまでに長い時間がかかり、パイロット誘発振動につながる可能性があります。短周期モードが不安定な場合、通常、パイロットはいかなる期間でも航空機を安全に制御することはできません。

この減衰調和運動は短周期ピッチ振動と呼ばれ、安定した航空機が飛行の一般的な方向を向く傾向から生じます。これは、ミサイルやロケット構成の風見鶏モードと性質が非常に似ています。この運動には主にピッチ姿勢(シータ) と入射角(アルファ) が関係します。慣性軸に対する速度ベクトルの方向は です。速度ベクトルは次のようになります。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta -\alpha }$

${\displaystyle u_{f}=U\cos(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle w_{f}=U\sin(\theta -\alpha )}$

ここで、は慣性軸の速度成分です。ニュートンの第 2 法則によれば、加速度は力に比例するため、慣性軸の力は次のようになります。 ${\displaystyle u_{f}}$${\displaystyle w_{f}}$

${\displaystyle X_{f}=m{\frac {du_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\cos(\theta -\alpha )-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=m{\frac {dw_{f}}{dt}}=m{\frac {dU}{dt}}\sin(\theta -\alpha )+mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

ここで、mは質量です。運動の性質上、振動周期にわたって速度の変化は無視できるため、次のようになります。 ${\displaystyle m{\frac {dU}{dt}}}$

${\displaystyle X_{f}=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\sin(\theta -\alpha )}$

${\displaystyle Z_{f}=mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}\cos(\theta -\alpha )}$

しかし、力は物体の圧力分布によって生成され、速度ベクトルを参照します。しかし、速度（風）軸セットは慣性フレームではないため、固定軸の力を風軸に分解する必要があります。また、Z 軸に沿った力のみを考慮します。

${\displaystyle Z=-Z_{f}\cos(\theta -\alpha )+X_{f}\sin(\theta -\alpha )}$

または：

${\displaystyle Z=-mU{\frac {d(\theta -\alpha )}{dt}}}$

言い換えると、風軸の力は向心加速度に等しいということです。

モーメント方程式は角運動量の時間微分です。

${\displaystyle M=B{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$

ここで、M はピッチングモーメント、B はピッチ軸周りの慣性モーメントです。をピッチ速度とします。したがって、すべての力とモーメントが風軸を基準とする運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=q}$

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=q+{\frac {Z}{mU}}}$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M}{B}}}$

ここでは、状態と q の摂動による力とモーメントの摂動、およびその時間微分のみを扱います。これらは、飛行条件から決定される安定性微分によって特徴付けられます。考えられる安定性微分は次のとおりです。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Z_{\alpha }}$入射による揚力。Z 軸が下向きなので負の値になりますが、正の入射の場合は上向きの力が発生します。

${\displaystyle Z_{q}}$ピッチレートによる揚力は尾部迎え角の増加から生じるため、負になりますが、と比較すると小さいです。${\displaystyle Z_{\alpha }}$

${\displaystyle M_{\alpha }}$ 入射角によるピッチングモーメント- 静的安定性の項。静的安定性には、これが負である必要があります。

${\displaystyle M_{q}}$ ピッチ レートによるピッチング モーメント - ピッチ減衰項。これは常に負の値です。

尾翼は翼の流れ場内で動作しているため、翼の入射角の変化はダウンウォッシュの変化を引き起こしますが、翼の流れ場の変化が尾翼の揚力に影響を与えるまでには遅延があり、これは入射角の変化率に比例するモーメントとして表されます。

${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

遅延したダウンウォッシュ効果により、尾翼にさらなる揚力が生じ、機首を下げるモーメントが生じるため、マイナスになると予想されます。 ${\displaystyle M_{\dot {\alpha }}}$

小さな摂動力とモーメントを伴う運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\alpha }{dt}}=\left(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}\right)q+{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}\alpha }$

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}={\frac {M_{q}}{B}}q+{\frac {M_{\alpha }}{B}}\alpha +{\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}{\dot {\alpha }}}$

これらを操作すると、次の2次線形微分方程式が得られます。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}-\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}+{\frac {M_{q}}{B}}+(1+{\frac {Z_{q}}{mU}}){\frac {M_{\dot {\alpha }}}{B}}\right){\frac {d\alpha }{dt}}+\left({\frac {Z_{\alpha }}{mU}}{\frac {M_{q}}{B}}-{\frac {M_{\alpha }}{B}}(1+{\frac {Z_{q}}{mU}})\right)\alpha =0}$

これは減衰単振動を表します。

は 1 に比べて小さいと予想されるため、 であれば、（「剛性」項）の係数は正になります。この式は、航空機の縦方向の静的安定性を定義するによって支配されるため、安定性のためには負でなければなりません。減衰項はダウンウォッシュ効果によって減少し、急速な自然応答と強い減衰の両方を備えた航空機を設計することは困難です。通常、応答は減衰不足ですが安定しています。 ${\displaystyle {\frac {Z_{q}}{mU}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle M_{\alpha }<{\frac {Z_{\alpha }}{mU}}M_{q}}$${\displaystyle M_{\alpha }}$

スティックを固定したままにしておくと、航空機は水平飛行を維持できず (現在の高度と推力設定で水平飛行に完璧にトリムされているというまれなケースを除く)、急降下、水平飛行、そして再び上昇を開始します。パイロットが介入するまで、このサイクルを繰り返します。この速度と高度の長周期振動は、フゴイドモードと呼ばれます。これは、 SSPO が適切に機能し、迎え角を公称値付近に維持すると仮定して分析されます。主に影響を受ける 2 つの状態は、飛行経路角度(ガンマ) と速度です。運動の小さな摂動方程式は次のとおりです。 ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z}$

つまり、向心力は揚力の摂動に等しいということです。

速度については、軌道に沿って解析します。

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X-mg\gamma }$

ここで、g は地球表面での重力加速度です。軌道に沿った加速度は、x 方向の正味の力から重量成分を引いたものに等しくなります。飛行経路の角度によって大きな空力導関数が左右されることは予想されないため、とのみ考慮する必要があります。は速度の増加に伴う抗力増加分で、負の値になります。同様に、は速度増加による揚力増加分で、これも負の値になります。揚力は z 軸と逆の方向に作用するからです。 ${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$${\displaystyle X_{u}}$${\displaystyle Z_{u}}$

運動方程式は次のようになります。

${\displaystyle mU{\frac {d\gamma }{dt}}=-Z_{u}u}$

${\displaystyle m{\frac {du}{dt}}=X_{u}u-mg\gamma }$

これらは、飛行経路の角度または速度の摂動に関する 2 次方程式として表現できます。

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}-{\frac {X_{u}}{m}}{\frac {du}{dt}}-{\frac {Z_{u}g}{mU}}u=0}$

これで揚力は重量とほぼ等しくなります。

${\displaystyle Z={\frac {1}{2}}\rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}$

ここで、は空気密度、は翼面積、W は重量、は揚力係数（迎え角が一定なので一定と仮定）なので、おおよそ次の式が得られます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S_{w}}$${\displaystyle c_{L}}$

${\displaystyle Z_{u}={\frac {2W}{U}}={\frac {2mg}{U}}}$

フゴイドの周期 T は u の係数から得られます。

${\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}={\sqrt {\frac {2g^{2}}{U^{2}}}}}$

または：

${\displaystyle T={\frac {2\pi U}{{\sqrt {2}}g}}}$

揚力は抗力よりもはるかに大きいため、フゴイドはせいぜい軽く減衰する程度です。固定速度のプロペラが役立ちます。ピッチ回転の強い減衰または大きな回転慣性は、短周期モードとフゴイドモード間の結合を増大させ、フゴイドを変化させます。

対称的なロケットまたはミサイルの場合、ヨー方向の安定性はピッチ方向の安定性と同じです。これは、短周期のピッチ振動に似ており、ヨー平面はピッチ平面の安定性の導関数に相当します。このため、ピッチ方向とヨー方向の安定性は、ミサイルの「風見鶏」安定性として総称されます。

航空機はピッチとヨーの対称性がないため、ヨーの方向安定性は、異なる安定性導関数のセットから導き出されます。ヨー平面の方向安定性を表す短周期ピッチ振動に相当するヨー平面は、ダッチロールと呼ばれます。ピッチ平面の動きとは異なり、横方向モードにはロールとヨーの両方の動きが含まれます。

エンジニアにとっては数学的な技巧に相当する形式的な操作によって運動方程式を導き出すのが通例です。現在のアプローチは、ピッチ平面解析に従って、比較的よく知られている概念に基づいて方程式を定式化します。

ラダーペダルを介して衝撃を加えると、ロールとヨーの振動であるダッチロールが発生し、ロールの動きがヨーの動きより 1/4 サイクル遅れるため、翼端は航空機に対して楕円形の軌道をたどります。

ヨー平面の並進方程式は、ピッチ平面の場合と同様に、求心加速度を横力に等しくします。

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}={\frac {Y}{mU}}-r}$

ここで、(ベータ)は横滑り角、Yは横力、rはヨーレートです。 ${\displaystyle \beta }$

モーメント方程式は少々複雑です。トリム条件は、航空機が気流に対して迎え角にあることです。機体の x 軸は、風軸の基準方向である速度ベクトルと一致しません。言い換えると、風軸は主軸ではありません(質量はヨー軸とロール軸の周りに対称的に分布していません)。位置 -z、x にある質量要素の y 軸方向、つまり紙面内への動きを考えてみましょう。

ロール速度が p の場合、粒子の速度は次のようになります。

${\displaystyle v=-pz+xr}$

2 つの項から成り、この粒子にかかる力は、まず v の変化率に比例し、2 番目は物体が動くときにこの速度成分の方向が変化することによるものです。後者の項は、小さな量 (pq、pr、qr) の外積を生じますが、これらは後で破棄されます。この分析では、わかりやすくするために、最初から破棄されています。実際には、ロールとヨーの同時速度による粒子の速度の方向は、動作中大幅に変化しないと仮定します。この単純化された仮定により、粒子の加速度は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}z+{\frac {dr}{dt}}x}$

ヨーモーメントは次のように表されます。

${\displaystyle \delta mx{\frac {dv}{dt}}=-{\frac {dp}{dt}}xz\delta m+{\frac {dr}{dt}}x^{2}\delta m}$

粒子がy方向にオフセットされるため、追加のヨーモーメントが発生します。${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}y^{2}\delta m}$

ヨーモーメントは、物体のすべての粒子を合計することによって求められます。

${\displaystyle N=-{\frac {dp}{dt}}\int xzdm+{\frac {dr}{dt}}\int x^{2}+y^{2}dm=-E{\frac {dp}{dt}}+C{\frac {dr}{dt}}}$

ここで、N はヨーモーメント、E は慣性モーメントの積、C はヨー軸周りの慣性モーメントです。同様の推論により、ロール方程式が得られます。

${\displaystyle L=A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}}$

ここで、L はロールモーメント、A はロール慣性モーメントです。

状態は(横滑り)、r (ヨー レート)、p (ロール レート) で、モーメントは N (ヨー)、L (ロール)、力は Y (横向き) です。この動きに関連する安定性導関数は 9 つあり、その発生方法を次に説明します。ただし、模型飛行機で遊んで、横滑りと角速度の変化によって各コンポーネントにかかる力がどのように影響を受けるかを考えると、より直感的に理解しやすくなります。 ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle Y_{\beta }}$横滑りによる横力（ヨーがない場合）。

横滑りは、フィンと胴体から横力を生成します。さらに、翼が上反りの場合、正のロール角での横滑りは右舷翼の迎え角を増加させ、左舷翼の迎え角を減少させ、横滑り方向と正反対の正味の力成分をもたらします。翼の後退角は迎え角に同じ影響を及ぼしますが、翼は垂直面で傾斜していないため、後退角だけでは影響しません。ただし、高性能航空機では、サイドスリップによる翼の迎え角の影響を相殺するために、高い後退角で下反りが使用されることがあります。奇妙なことに、これによって翼構成の への寄与の符号が反転することはありません(上反りの場合と比較して)。 ${\displaystyle Y_{\beta }}$${\displaystyle Y_{\beta }}$

${\displaystyle Y_{p}}$ロールレートによる横方向の力。

ロール レートによりフィンに入射角が生じ、対応する横方向の力が発生します。また、正のロール (右舷の翼が下がっている) により、右舷の翼の揚力が増加し、左舷の翼の揚力が減少します。翼に上反りがある場合、結果として生じる横滑りの傾向に反する横方向の力が瞬間的に発生します。下反りの翼やスタビライザー構成では、フィンの効果が抑えられると横方向の力の符号が反転することがあります。

${\displaystyle Y_{r}}$ヨーレートによる横方向の力。

ヨーイングは、方向舵、安定板、胴体への入射により横方向の力を発生させます。

${\displaystyle N_{\beta }}$横滑り力によるヨーイングモーメント。

方向舵を操作していない状態で横滑りが発生すると、胴体と尾翼に衝撃が加わり、水平飛行状態では機首を風上に戻す傾向がある方向剛性によってのみ相殺されるヨーモーメントが発生します。横滑り状態では、所定のロール角で機首が横滑り方向に向く傾向があり、方向舵を操作していない場合でも下向きの螺旋飛行が発生します。 ${\displaystyle N_{\beta }}$

${\displaystyle N_{p}}$ロールレートによるヨーイングモーメント。

ロール レートはフィンの揚力を生成し、ヨー モーメントを引き起こします。また、翼の揚力を差別的に変更するため、各翼の誘導抗力寄与に影響し、(小さな) ヨー モーメント寄与を引き起こします。正のロールは、尾翼が下反りの場合やフィンがロール軸より下にある場合を除き、通常、正の値を引き起こします。上反りまたは下反りの翼の揚力差から生じる横方向の力成分は、翼軸が通常、重心と密接に一直線になっているため、 ほとんど影響しません。${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle N_{p}}$

${\displaystyle N_{r}}$ヨーレートによるヨーモーメント。

あらゆるロール角でのヨーレート入力は、結果として生じるヨーモーメントを支配するラダー、フィン、および胴体の力のベクトルを生成します。ヨーイングは、外側の翼の速度を上昇させ、内側の翼の速度を低下させます。これに対応する抗力の変化により、反対のヨーモーメント (小さな) が発生します。これは、航空機の機首を風に向ける傾向がある固有の方向剛性に対抗し、ヨーレート入力の符号と常に一致します。 ${\displaystyle N_{r}}$

${\displaystyle L_{\beta }}$横滑りによるローリングモーメント。

正の横滑り角は尾翼の迎え角を生成し、その構成に応じて正または負のロール モーメントを引き起こす可能性があります。横滑り角がゼロ以外の場合、上反角翼は後退翼と同様に、航空機を水平に戻す傾向があるロール モーメントを引き起こします。後退角の大きい翼では、結果として生じるロール モーメントがすべての安定性要件に対して過大になる可能性があり、下反角を使用して翼の後退角によって引き起こされるロール モーメントの影響を相殺できます。

${\displaystyle L_{r}}$ヨーレートによるローリングモーメント。

ヨーは外側の翼の速度を上昇させ、内側の翼の速度を低下させ、内側にロールモーメントを引き起こします。通常、フィンの寄与は、ロール軸より上の下反り安定装置（またはロール軸より下の上反り安定装置）によって相殺されない限り、この内側ロール効果をサポートします。

${\displaystyle L_{p}}$ロール速度によるロールモーメント。

ロールは右翼と左翼の両方に反対方向の回転力を発生させ、同時に尾翼にも同様の力を発生させます。ロール速度を維持するためには、エルロン入力によってこれらの反対方向のロールモーメント効果を克服する必要があります。ロールがゼロ以外のロール角度で停止した場合、横滑りによって発生する上向きのロールモーメントによって航空機は水平に戻りますが、横滑りによって発生するヨー速度によって発生する下向きのロールモーメントがそのモーメントを超えないようにしてください。後者の影響を最小限に抑えることで、縦方向の安定性を確保または改善できます。 ${\displaystyle L_{\beta }}$ ${\displaystyle L_{r}}$

ダッチロールは短周期ピッチ振動に類似した操縦モードであるため、軌道に及ぼす影響は無視できます。機体速度r は、横滑り角の変化率と旋回率で構成されます。後者をゼロと見なし、軌道に影響がないと仮定すると、ダッチロールを研究するという限定された目的のため、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d\beta }{dt}}=-r}$

安定性導関数を含むヨーおよびロール方程式は次のようになります。

${\displaystyle C{\frac {dr}{dt}}-E{\frac {dp}{dt}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$（ヨー）

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}-E{\frac {dr}{dt}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$（ロール）

ロール加速による慣性モーメントは空力項に比べて小さいと考えられるため、方程式は次のようになります。

${\displaystyle -C{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=N_{\beta }\beta -N_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+N_{p}p}$

${\displaystyle E{\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}=L_{\beta }\beta -L_{r}{\frac {d\beta }{dt}}+L_{p}p}$

これは、ロール レートまたは横滑りのいずれかを制御する 2 次方程式になります。

${\displaystyle \left({\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}\right){\frac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}+\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}\right){\frac {d\beta }{dt}}-\left({\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}-{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}\right)\beta =0}$

ロールレートの式は同じです。ただし、ロール角度(phi) は次の式で表されます。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=p}$

p が減衰単振動であれば も減衰単振動ですが、ロールはロール速度と直交する必要があり、したがって横滑りとも直交する必要があります。この運動はロールとヨーの振動で構成され、ロール運動はヨー運動より 90 度遅れます。翼端は楕円形の軌道を描きます。 ${\displaystyle \phi }$

安定性には、「剛性」と「減衰」の項が正であることが必要です。これらは次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{r}}{C}}-{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {L_{r}}{A}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$（減衰）

${\displaystyle {\frac {{\frac {L_{\beta }}{A}}{\frac {N_{p}}{C}}-{\frac {L_{p}}{A}}{\frac {N_{\beta }}{C}}}{{\frac {N_{p}}{C}}{\frac {E}{A}}-{\frac {L_{p}}{A}}}}}$ （硬直）

分母はロール減衰導関数 によって支配され、これは常に負の値となるため、これら 2 つの式の分母は正の値となります。 ${\displaystyle L_{p}}$

「剛性」項を考慮すると、 は常に負であり、設計により正である ため、 は正になります。は通常負ですが、 は正です。 過度の上反角はダッチロールを不安定にする可能性があるため、後退角の大きい翼を持つ構成では、 への翼後退角の寄与を相殺するために下反角が必要です。 ${\displaystyle -L_{p}N_{\beta }}$${\displaystyle L_{p}}$${\displaystyle N_{\beta }}$${\displaystyle L_{\beta }}$${\displaystyle N_{p}}$${\displaystyle L_{\beta }}$

減衰項は、ロール減衰とヨー減衰の導関数の積によって支配されます。これらは両方とも負であるため、それらの積は正になります。したがって、ダッチロールは減衰されるはずです。

この動きは、重心のわずかな横方向の動きを伴い、より「正確な」分析では、などの項が導入されます。安定性導関数を計算できる精度を考慮すると、これは不必要な衒学的であり、この記事の基本的な目的である航空機の形状と操縦性の関係を不明瞭にすることになります。 ${\displaystyle Y_{\beta }}$

スティックを横に動かして中央に戻すと、ロールの向きが完全に変わります。

ロール運動は、自然な安定性が欠如していることが特徴で、慣性ロール角に応じてモーメントを生成する安定性導関数はありません。ロール外乱は、パイロットまたは自動操縦装置の介入によってのみキャンセルされるロール レートを引き起こします。これは、横滑りまたはヨー レートのわずかな変化で発生するため、運動方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle A{\frac {dp}{dt}}=L_{p}p.}$

${\displaystyle L_{p}}$は負なので、ロール レートは時間とともに減少します。ロール レートはゼロまで減少しますが、ロール角度を直接制御することはできません。

操縦桿を静止させたまま翼を水平に近づけると、航空機は通常、直線飛行経路から徐々に片側に逸れていく傾向があります。これが（やや不安定な） スパイラルモードです。^[要出典]

軌道を研究する際には、物体の方向ではなく速度ベクトルの方向が重要です。水平に投影された速度ベクトルの方向は軌道と呼ばれ、( mu ) で表されます。物体の向きは方位と呼ばれ、(psi) で表されます。運動の力の方程式には、重量の要素が含まれます。^{[引用が必要]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y}{mU}}+{\frac {g}{U}}\phi }$

ここで、gは重力加速度、Uは速度です。

安定性導関数を含む:

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dt}}={\frac {Y_{\beta }}{mU}}\beta +{\frac {Y_{r}}{mU}}r+{\frac {Y_{p}}{mU}}p+{\frac {g}{U}}\phi }$

ロールレートとヨーレートは小さいと予想されるため、およびの寄与は無視されます。 ${\displaystyle Y_{r}}$${\displaystyle Y_{p}}$

横滑りとロール率は徐々に変化するため、時間微分は無視されます。ヨーとロールの方程式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle N_{\beta }\beta +N_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+N_{p}p=0}$ （ヨー）

${\displaystyle L_{\beta }\beta +L_{r}{\frac {d\mu }{dt}}+L_{p}p=0}$（ロール）

およびp を解くと: ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta ={\frac {(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

${\displaystyle p={\frac {(L_{\beta }N_{r}-L_{r}N_{\beta })}{(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })}}{\frac {d\mu }{dt}}}$

力の方程式に横滑りとロール速度を代入すると、ロール角の一次方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}=mg{\frac {(L_{\beta }N_{r}-N_{\beta }L_{r})}{mU(L_{p}N_{\beta }-N_{p}L_{\beta })-Y_{\beta }(L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r})}}\phi }$

これは、係数が正か負かによって指数関数的に増加または減少します。分母は通常負であるため、 （両方の積が正）が必要です。これはダッチロールの安定性要件と直接矛盾しており、ダッチロールとスパイラルモードの両方が本質的に安定している航空機を設計することは困難です。^{[引用が必要]}${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{\beta }N_{r}>N_{\beta }L_{r}}$

スパイラルモードは時定数が長いため、パイロットが介入して効果的に安定させることができますが、ダッチロールが不安定な航空機は飛行が困難になります。通常は、安定したダッチロールモードとやや不安定なスパイラルモードを備えた航空機を設計します。^[要出典]

• NK Sinha および N Ananthkrishnan (2013)、「分岐法と継続法の紹介による初等飛行力学」、CRC Press、Taylor & Francis。
• バビスター、AW（1980年）。航空機の動的安定性と応答（第1版）。オックスフォード：ペルガモンプレス。ISBN 978-0080247687。

• MIXR - 複合現実シミュレーションプラットフォーム
• JSBsim、オープンソース、プラットフォームに依存しない、C++ の飛行力学および制御ソフトウェア ライブラリ