アブラハム・ローレンツ力

電磁気学の物理学において、アブラハム・ローレンツ力（ローレンツ・アブラハム力 とも呼ばれる）は、加速する荷電粒子が自己相互作用によって電磁放射を放出することによって生じる反作用力である。放射反作用力、放射減衰力^{[ 1 ]}、 または自己力^{[ 2 ]}とも呼ばれる。この力は、物理学者のマックス・アブラハムとヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられた。

この公式は、特殊相対性理論より前に存在していたものの、当初は非相対論的速度近似に対して計算されたものでした。マックス・アブラハムによって任意の速度に拡張され、ジョージ・アドルフス・ショットによって物理的に整合性があることが示されました。非相対論的形式はローレンツ自己力と呼ばれ、相対論的形式はローレンツ・ディラック力、またはまとめてアブラハム・ローレンツ・ディラック力と呼ばれています。^{[ 3 ]}これらの方程式は量子物理学ではなく古典物理学の領域にあるため、コンプトン波長以下の距離では有効ではない可能性があります。 ^{[ 4 ]}ただし、この公式には完全に量子論的かつ相対論的な類似物が2つあります。1つは「アブラハム・ローレンツ・ディラック・ランジュバン方程式」^{[ 5 ]} 、もう1つは動く鏡に働く自己力です。^{[ 6 ]}

力は、物体の電荷の二乗に、物体が受けているジャーク（加速度の変化率）を掛けたものに比例します。力はジャークの方向を向きます。例えば、サイクロトロンでは、ジャークが速度と逆方向を向いているため、放射反作用は粒子の速度と逆方向に働き、制動作用をもたらします。アブラハム・ローレンツ力は、電波を放射する無線アンテナの放射抵抗の原因です。

アブラハム・ローレンツ・ディラック方程式には、粒子が力の作用に先立って加速する、いわゆる前加速解と呼ばれる病的な解が存在する。これは原因よりも先に結果が生じる（逆因果律）ことを表すため、いくつかの理論では、この方程式によって信号が時間を遡って伝わる可能性があり、物理的な因果律の原理に疑問を投げかけると推測されている。この問題の解決策の一つは、アーサー・D・ヤグジアン^{[ 7 ]}によって議論され、フリッツ・ロールリッヒ^{[ 4 ]}とロドリゴ・メディナ^{[ 8 ]}によってさらに議論された。さらに、一部の著者は、放射反作用力は不要であると主張し、ミンコフスキー空間やその他の適切な時空においてエネルギーと運動量を自然に保存する対応する応力エネルギーテンソルを導入している^{[ 9 ] 。}

非相対論的速度近似から導出されたローレンツ自己力${\displaystyle v\ll c}$はSI単位で次のように表されます。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {q^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} ={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} }$$ またはガウス単位で $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={2 \over 3}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}\mathbf {\dot {a}} .}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }}$力は、${\displaystyle \mathbf {\dot {a}} }$は加速度の導関数、または変位の3階導関数であり、ジャークとも呼ばれます。μ 0_は磁気定数、ε ₀は電気定数、cは自由空間における光速、qは粒子の電荷です。

物理的には、加速する電荷は（ラーモアの公式に従って）放射線を放出し、その放射線は電荷から運動量を運び去ります。運動量は保存されるため、電荷は放出された放射線の方向とは逆の方向に押し出されます。実際、上記の放射力の公式は、以下に示すようにラーモアの公式から導き出すことができます。

アブラハム・ローレンツ力は、任意の速度に対するローレンツ自己力の一般化であり、次のように表される。^{[ 10 ] [ 11 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\left(\gamma ^{2}{\dot {a}}+{\frac {\gamma ^{4}v(v\cdot {\dot {a}})}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{4}a(v\cdot a)}{c^{2}}}+{\frac {3\gamma ^{6}v(v\cdot a)^{2}}{c^{4}}}\right)}$$

どこ${\displaystyle \gamma }$ローレンツ因子は${\displaystyle v}$は粒子の速度を表す。この式は特殊相対性理論と一致し、低速度極限ではローレンツの自己力式に帰着する。

ディラックが任意の形状の素電荷に対して導出した放射反作用の共変形式は次のようになることがわかった。^{[ 12 ] [ 13 ]}$$${\displaystyle F_{\mu }^{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}\left[{\frac {d^{2}p_{\mu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {p_{\mu }}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {dp_{\nu }}{d\tau }}{\frac {dp^{\nu }}{d\tau }}\right)\right]}$$$

電流による電磁放射エネルギーの最初の計算は、 1883 年にGeorge Francis FitzGeraldによって行われ、放射抵抗が現れた。^{[ 14 ]}しかし、Heinrich Hertzによる双極子アンテナの実験はより大きな影響を与え、放射の放出による発振器の減衰または減衰について Poincaré によるコメントを集めた。 ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}加速する電荷から放出される放射の減衰効果に関する定性的な議論は、1891 年にHenri Poincaréによって始まった。 ^{[ 18 ] [ 19 ]} 1892 年に、Hendrik Lorentz は低速の電荷の自己相互作用力を導出したが、それを放射損失と関連付けなかった。^{[ 20 ]}放射エネルギー損失と自己力の関係についての提案は、 Max Planckによって最初に行われた。^{[ 21 ]}プランクの減衰力の概念は、素粒子の荷電粒子に対して特定の形状をとるものではなく、1898年にマックス・アブラハムによってアンテナの放射抵抗を求めるために応用され、これがこの現象の最も実用的な応用例となっている。^{[ 22 ]}

1900 年代初頭、アブラハムはローレンツ自己力を任意の速度に一般化した式を定式化し、その物理的整合性は後にジョージ・アドルフス・ショットによって示されました。^{[ 10 ] [ 23 ] [ 24 ]}ショットはアブラハム方程式を導出し、「加速エネルギー」を電磁放射のエネルギー源としました。元々は 1908 年のアダムズ賞のエッセイとして提出されたもので、彼はコンテストに優勝し、1912 年にそのエッセイを本として出版しました。この時点で、自己力と放射反作用の関係は十分に確立されました。^{[ 25 ]}ヴォルフガング・パウリは最初に放射反作用の共変形式を得ました^{[ 26 ] [ 27 ]} 1938 年に、ポール・ディラックは、荷電粒子の運動方程式が、粒子の形状を仮定することなく、妥当な近似の範囲内でアブラハムの式を含んでいることを発見しました。ディラックによって導出された方程式は、古典理論の範囲内で厳密であると考えられている。^{[ 12 ]}

古典電磁気学では、問題は通常、次の2つのクラスに分類されます。

1. 電荷源と電流源が指定され、場が計算される問題、
2. 逆の状況としては、場が指定され、粒子の運動が計算される問題がある。

プラズマ物理学や輸送係数（伝導率、拡散率など）の計算といった物理学の分野では、発生源によって生成される場と発生源の運動が自己無撞着に解かれる。しかし、このような場合、選択された発生源の運動は、他のすべての発生源によって生成される場に応じて計算される。粒子（発生源）の運動が、その粒子自身によって生成される場によって計算されることは稀である。その理由は2つある。

1. 「自己場」を無視すると、多くの用途で十分な精度が得られる答えが得られることが多く、
2. 自己場の導入は、繰り込みなどの物理学上の問題を引き起こし、その中には未解決のものもあり、物質とエネルギーの本質そのものに関わる問題である。

自己場によって生じるこれらの概念的な問題は、標準的な大学院教科書で強調されている。[ジャクソン]

この問題がもたらす困難は、物理学の最も根本的な側面の一つである素粒子の性質に深く関わっている。限られた領域内では有効な部分的な解決策は提示できるものの、根本的な問題は未解決のままである。古典力学から量子力学への移行によって、こうした困難が解消されることを期待する向きもあるだろう。いずれそうなる可能性は依然として残っているものの、現在の量子力学の議論は、古典力学の議論よりもさらに複雑な問題を抱えている。比較的近年（1948年～1950年頃）の成果の一つは、ローレンツ共変性とゲージ不変性の概念が巧みに利用され、量子電磁力学におけるこうした困難を回避し、極めて小さな放射効果を実験結果と完全に一致する極めて高い精度で計算できるようになったことである。しかしながら、根本的な観点から見ると、困難は依然として残っている。

アブラハム・ローレンツ力は、自己生成場の効果に関する最も基本的な計算の結果です。これは、加速する電荷が放射線を放出するという観測から生じます。アブラハム・ローレンツ力は、加速する荷電粒子が放射線の放出による反動で感じる平均的な力です。量子効果の導入は、量子電磁力学へとつながります。量子電磁力学における自己場は、計算において有限個の無限大を生成しますが、これは繰り込みの過程によって除去できます。これにより、人類がこれまでに行ってきた中で最も正確な予測を行うことができる理論が生まれました。（QEDの精密テストを参照。）しかし、繰り込み過程は重力に適用すると失敗します。この場合、無限大の数は無限大であるため、繰り込みが失敗します。したがって、一般相対性理論には未解決の自己場問題があります。弦理論とループ量子重力は、放射反作用の問題、あるいは自己力の問題と呼ばれるこの問題を解決しようとする現在の試みである。

自己力の最も単純な導出は、光速よりもはるかに遅い速度で移動する点電荷から放射される電力に関する ラーモアの公式から周期運動の場合に得られる。$${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {a} ^{2}.}$$

荷電粒子の運動が周期的であると仮定すると、アブラハム・ローレンツ力によって粒子になされる平均仕事は、1周期にわたって積分されたラーモアのべき乗の負の値になります。$\displaystyle \tau _{1}}$に$\displaystyle \tau _{2}}$: $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}-Pdt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}\mathbf {a} ^{2}dt=-\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pic}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}dt.}$$

上記の式は部分積分によって積分できます。周期的な運動があると仮定すると、部分積分における境界項は消滅します。 $${\displaystyle \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }\cdot \mathbf {v} dt=-{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} {\bigg |}_{\tau _{1}}^{\tau _{2}}+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}{\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}\cdot \mathbf {v} dt=-0+\int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}{\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {\dot {a}} \cdot \mathbf {v} dt.}$$

明らかに、低速で運動する粒子に適用可能なローレンツ自己力方程式は、次のように特定できる。 $${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi c}}\mathbf {{\dot {a}}.} }$$周期運動を必要としない、より厳密な導出は、有効場理論の定式化を用いて見出された。^{[ 28 ] [ 29 ]}

マックス・アブラハムは任意の速度に対する一般化された方程式を定式化し、それが特殊相対性理論と一致することがわかった。当時確立されていた相対性理論を利用した別の導出は、荷電粒子の形状に関する仮定なしにディラックによって発見された。 ^{[ 3 ]}

以下は、古典的な分析が驚くべき結果をもたらす例です。古典理論は、因果関係の標準的な図式に異議を唱えるものと見なすことができ、それによって理論の破綻、あるいは拡張の必要性を示唆します。この場合、拡張先は量子力学とその相対論的対応物である量子場理論です。序論にある「物理理論の妥当性の限界に従うことの重要性」に関するロールリッヒ^{[ 4 ]}の引用を参照してください。

外部力にさらされた粒子の場合${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }}$、 我々は持っています $${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=\mathbf {F} _{\mathrm {rad} }+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }=mt_{0}{\ddot {\mathbf {v} }}+\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }.}$$ どこ $${\displaystyle t_{0}={\frac {\mu _{0}q^{2}}{6\pi mc}}.}$$

この方程式を一度積分すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}={1 \over t_{0}}\int _{t}^{\infty }\exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)\,\mathbf {F} _{\mathrm {ext} }(t')\,dt'.}$$

積分は現在から無限に遠い未来まで及ぶ。したがって、力の未来の値は現在の粒子の加速度に影響を与える。未来の値は係数によって重み付けされる。 $${\displaystyle \exp \left(-{t'-t \over t_{0}}\right)}$$ は、より長い時間で急速に減少します。${\displaystyle t_{0}}$将来的に。したがって、約 ${\displaystyle t_{0}}$将来への変化は現在の加速に影響を与える。電子の場合、この時間は約${\displaystyle 10^{-24}}$秒とは、光波が電子の「大きさ」、つまり古典的な電子半径を横切るのにかかる時間です。この「大きさ」を定義する一つの方法は、次のようにします。それは（ある定数係数を除いて）距離です。${\displaystyle r}$2つの電子が離れた場所に静止している${\displaystyle r}$分離して飛び去ることを許された粒子は、光速の半分に達するのに十分なエネルギーを持つだろう。言い換えれば、電子のように軽いものが完全に相対論的になる長さ（または時間、またはエネルギー）スケールを形成する。この式にはプランク定数が全く含まれていないため、この長さスケールで何かが間違っていることを示しているものの、量子不確定性や光子の周波数-エネルギー関係とは直接関係がないことに注意すべきである。量子力学では、この式を扱うのが一般的であるが、${\displaystyle \hbar \to 0}$「古典的極限」として、プランク定数がどのように固定されるかに関わらず、古典理論でさえも繰り込みが必要になると推測する人もいる。

相対論的一般化を見つけるために、ディラックは1938年にアブラハム・ローレンツ力を用いて運動方程式の質量を再規格化した。この再規格化された運動方程式はアブラハム・ローレンツ・ディラック運動方程式と呼ばれている。^{[ 12 ] [ 30 ]}

しかし、アブラハム・ローレンツ力に起因する反減衰機構は、遅延リエナール・ヴィーヘルトポテンシャルの展開ではしばしば無視される他の非線形項によって補償される可能性がある。^{[ 4 ]}

アブラハム・ローレンツ・ディラック力は、いくつかの病的な解をもたらします。これを避けるために、レフ・ランダウとエフゲニー・リフシッツは、放射減衰力が、ある参照系（存在すると仮定）におけるローレンツ力に比べて小さい場合に有効な、放射減衰力に関する次の式を考案しました。^{[ 31 ]}

${\displaystyle g^{i}={\frac {2e^{3}}{3mc^{3}}}\left\{{\frac {\partial F^{ik}}{\partial x^{l}}}u_{k}u^{l}-{\frac {e}{mc^{2}}}\left[F^{il}F_{kl}u^{k}-(F_{kl}u^{l})(F^{km}u_{m})u^{i}\right]\right\}}$

電荷の運動方程式${\displaystyle e}$外部フィールドにおいて${\displaystyle F^{ik}}$次のように書くことができます

${\displaystyle mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+g^{i}.}$

ここ${\displaystyle u^{i}=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)}$は粒子の4元速度であり、${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ローレンツ因子であり、${\displaystyle \mathbf {v} }$は3次元速度ベクトルである。3次元ランダウ・リフシッツ放射減衰力は次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {rad} }={\frac {2e^{3}\gamma }{3mc^{3}}}\left\{{\frac {D\mathbf {E} }{Dt}}+{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times {\frac {D\mathbf {H} }{Dt}}\right\}+{\frac {2e^{4}}{3m^{2}c^{4}}}\left[\mathbf {E} \times \mathbf {H} +{\frac {1}{c}}\mathbf {H} \times (\mathbf {H} \times \mathbf {v} )+{\frac {1}{c}}\mathbf {E} (\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} )\right]-{\frac {2e^{4}\gamma ^{2}\mathbf {v} }{3m^{2}c^{5}}}\left[\left(\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )^{2}\right]}$

どこ${\displaystyle D/Dt=\partial /\partial t+\mathbf {v} \cdot \nabla }$は全導関数です。

アブラハム・ローレンツ力は多くの実験的考察においてほとんど無視されるが、大きな局所電場増強のため、より大きなナノ粒子のプラズモン励起では重要になる。放射減衰は表面増強ラマン散乱におけるプラズモン励起の制限因子として作用する。^{[ 32 ]}減衰力は金ナノ粒子、ナノロッド、クラスターの表面プラズモン共鳴を広げることが示されている。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

放射減衰が核磁気共鳴に及ぼす影響は、ニコラス・ブロンベルゲンとロバート・パウンドによっても観察されており、彼らは特定のケースではスピン-スピン緩和機構やスピン-格子緩和機構よりも放射減衰が優勢であることを報告している。^{[ 36 ]}

アブラハム・ローレンツ力は、高強度レーザーによる相対論的電子ビームの散乱を伴う実験において、半古典的領域で観測されている。^{[ 37 ] [ 38 ]}実験では、超音速のヘリウムガスジェットが高強度（10 ¹⁸ –10 ²⁰  W/cm ²）レーザーによって遮断される。レーザーはヘリウムガスをイオン化し、「レーザーウェイクフィールド」効​​果として知られる現象によって電子を加速する。次に、2番目の高強度レーザービームがこの加速された電子ビームとは反対方向に伝搬される。ごく少数のケースでは、光子と電子ビームの間で逆コンプトン散乱が発生し、散乱された電子と光子のスペクトルが測定される。次に、光子スペクトルは、QEDまたは古典的なLL運動方程式のいずれかを使用するモンテカルロシミュレーションから計算されたスペクトルと比較される。

放射反作用の影響は、しばしば単一粒子ダイナミクスの枠組みで検討されます。しかし、プラズマのように荷電粒子の集合が強い電磁場にさらされると、興味深い現象が発生します。このようなシナリオでは、放射反作用の影響により、プラズマの集団的挙動がその特性を大きく変化させる可能性があります。理論的研究では、パルサーやマグネターの周囲に見られるような強い磁場のある環境では、放射反作用冷却によってプラズマの集団的ダイナミクスが変化する可能性があることが示されています。この変化は、プラズマ内の不安定性につながる可能性があります。^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}具体的には、これらの天体特有の強い磁場では、放射反作用力によって粒子の運動量分布が集中し、異方性になり、プラズマの不安定性を引き起こし、プラズマ全体の挙動に影響を与える可能性があります。これらの不安定性の中には、異方性圧力によって発生するファイアホース不安定性^{[ 39 ]}や、リング内の反転分布によって発生する電子サイクロトロンメーザー^{[ 42 ]などがあります。}

外部力によって加速された点電荷に対する放射反応の別のメカニズムは、電荷のエネルギー増加が電磁放射によって持ち去られるエネルギーによって減少するというものである。^{[ 43 ]}これにより、追加の力なしで粒子の加速が減少するため、それが引き起こすパラドックスは存在しない。

• ローレンツ力
• サイクロトロン放射
  • シンクロトロン放射
• 電磁質量
• 耐放射線性
• 放射減衰
• ウィーラー・ファインマン吸収体理論
• 磁気放射反作用力

• グリフィス、デイビッド・J. (1998).電磁気学入門（第3 版）. プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-805326-0。11.2.2項および11.2.3項を参照してください。
• ジャクソン、ジョン・D. (1998).古典電磁気学（第3 版）. ワイリー. ISBN 978-0-471-30932-1。
• ドナルド・H・メンゼル（1960）物理学の基本公式、ドーバー出版、ISBN 0-486-60595-7第1巻、 345ページ。
• スティーブン・パロット (1987)相対論的電磁気学と微分幾何学、§ 4.3 放射反作用とローレンツ・ディラック方程式、136～145 ページ、および § 5.5 ローレンツ・ディラック方程式の特異解、 195～204 ページ、Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5。

• MathPages – 一様に加速する電荷は放射するのか？
• ファインマン：量子電磁力学の時空間観の発展
• EC. del Río: 加速された電荷の放射