三つ葉結び

トレフォイル
通称	オーバーハンドノット
Arf不変	1
編み込みの長さ	3
編み込みNo.	2
橋番号	2
クロスキャップNo.	1
交差点番号	3
属	1
双曲体積	0
スティックNo.	6
トンネル番号	1
解く番号。	1
コンウェイ記法	[3]
A-B表記	3 1
ダウカー記法	4、6、2
最後 / 次	0 1 /  4 1
他の
交互、トーラス、繊維、プレッツェル、プライム、ノットスライス、リバーシブル、三色、ねじれ

数学の一分野である結び目理論において、三つ葉結び目は非自明な結び目の最も単純な例です。三つ葉結び目は、一般的なオーバーハンドノットの 2 つの緩んだ端を結合して、結び目のあるループを作ることで得られます。最も単純な結び目である三つ葉結び目は、数学的な結び目理論の研究の基礎となります。

トレフォイルノットは、三つ葉のクローバー（またはトレフォイル）植物にちなんで名付けられました。

三つ葉結び目は、次のパラメトリック方程式から得られる曲線として定義できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sin t+2\sin 2t\\y&=\cos t-2\cos 2t\\z&=-\sin 3t\end{aligned}}}$

(2,3)-トーラス結び目も三つ葉結び目です。次のパラメトリック方程式は、トーラス 上にある (2,3)-トーラス結び目を与えます。 ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(2+\cos 3t)\cos 2t\\y&=(2+\cos 3t)\sin 2t\\z&=\sin 3t\end{aligned}}}$

上記の曲線の連続的な変形も、三つ葉結び目とみなされます。具体的には、三つ葉結び目と同位の曲線も三つ葉結び目とみなされます。さらに、三つ葉結び目の鏡像も三つ葉結び目とみなされます。位相幾何学と結び目理論では、三つ葉は通常、明示的なパラメトリック方程式ではなく、 結び目図を使用して定義されます。

代数幾何学では、三葉形は、単位三次元球面S ^{3 と複素}多項式z ²  +  w ³の零点の複素平面曲線(尖頭三次曲線)とのC ²における交差として得られることもあります。

テープやベルトの片方の端を3回折り返してもう一方に貼り付けると、端が三つ葉の結び目を形成します。^[1]

三つ葉結び目は、その鏡像と区別できるという意味でキラルである。結果として生じる 2 つの変形は、左巻き三つ葉結び目と右巻き三つ葉結び目として知られている。左巻き三つ葉結び目を連続的に右巻き三つ葉結び目に変形することは不可能であり、その逆も同様である。(つまり、2 つの三つ葉結び目は周囲同位体ではない。)

三つ葉結び目はキラルですが、可逆性もあります。つまり、反時計回りの三つ葉と時計回りの三つ葉の間には区別がありません。つまり、三つ葉のキラリティーは、曲線の方向ではなく、交差の上下のみに依存します。

しかし、結び目は回転対称です。軸は、3 色の画像のページに対して垂直な線を中心にしています。

三つ葉結び目は非自明であり、切断せずに 3 次元で三つ葉結び目を「解く」ことは不可能であることを意味します。数学的には、これは三つ葉結び目が解かれた結び目と同位体ではないことを意味します。特に、三つ葉結び目を解く ライデマイスター動作のシーケンスは存在しません。

これを証明するには、三つ葉結び目と結び目がない結び目を区別する結び目不変量を構築する必要があります。最も単純な不変量は三色可能性です。三つ葉結び目は三色可能ですが、結び目がない結び目は三色できません。さらに、ほとんどすべての主要な結び目多項式は三つ葉結び目と結び目がない結び目を区別します。これは、他のほとんどの強い結び目不変量でも同様です。

結び目理論では、三つ葉結び目は最初の非自明な結び目であり、交差数が3である唯一の結び目です。これは素数結び目であり、アレクサンダー・ブリッグス表記法では3 ₁と記載されています。三つ葉結び目のダウカー表記法は4 6 2、コンウェイ表記法は[3]です。

三つ葉結び目は (2,3)-トーラス結び目として記述することができます。また、これは組紐σ ₁ ³を閉じることによって得られる結び目でもあります。

三つ葉結び目は交互結び目です。しかし、スライス結び目ではないため、4 次元球内の滑らかな 2 次元ディスクを囲むものではありません。これを証明する 1 つの方法は、その署名がゼロではないことに注意することです。もう 1 つの証明は、そのアレクサンダー多項式がフォックス ミルノア条件を満たさないことです。

三つ葉結び目 は繊維結び目であり、つまり、におけるその補集合は円上の繊維束である。三つ葉結び目K は、およびとなる複素数のペアの集合とみなすことができる。すると、この繊維束には、結び目の補集合の円 への繊維束投影としてミルノア写像 が存在する。繊維は、一度穴があけられたトーラスである。結び目の補集合も境界を持つザイフェルト繊維であるため、水平方向の非圧縮面が存在する。これは、ミルノア写像の繊維でもある。(これは、結び目が厚くなって固体トーラス N _ε ( K ) になり、この固体トーラスの内部が削除されてコンパクトな結び目の補集合 が作成されていると仮定している。) ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle (z,w)}$${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$${\displaystyle S^{3}\setminus \mathbf {K} }$${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}\setminus \operatorname {int} (\mathrm {N} _{\varepsilon }(\mathbf {K} )}$

三つ葉結び目のアレクサンダー多項式は 、コンウェイ 多項式は^[2]です。 ジョーンズ多項式は 、カウフマン多項式は、三つ葉結び目のHOMFLY多項式は 、三つ葉結び目 の 結び目群は 、またはそれと同等の表現で与えられます ^{[3]。この群は、3本のストランドを}持つ組紐群 と同型です。 $${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},}$$ $${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$$$${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$$$${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}- 2a^{2}.}$$$${\displaystyle L(\alpha ,z)=-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}.}$$$${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$$ $${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$$

三つ葉は、最も単純で重要な結び目として、図像学や視覚芸術でよく使われるモチーフです。たとえば、トリケトラのシンボルの一般的な形は三つ葉であり、ゲルマン民族のヴァルクヌートのいくつかのバージョンも三つ葉です。

現代美術では、 MCエッシャーの木版画「結び目」に、異なる方法でねじれた立体形状の三つ葉の結び目が描かれています。^[4]

ウィキメディア・コモンズには、トレフォイル・ノットに関連するメディアがあります。

• プレッツェルリンク
• 8の字結び（数学）
• トリケトラのシンボル
• 五つ葉結び
• ゴルディアスの結び目

• Wolframalpha: (2,3)-トーラス結び目
• 三つ葉結びの 3D モデル