結び目多項式

数学の結び目理論の分野において、結び目多項式は、係数が特定の結び目のいくつかの特性を符号化する多項式の形の結び目不変量です。

最初の結び目多項式であるアレクサンダー多項式は、1923 年にジェームズ・ワデル・アレクサンダー 2 世によって導入されました。他の結び目多項式は、それからほぼ 60 年経って初めて発見されました。

1960年代に、ジョン・コンウェイは、アレクサンダー多項式の一種であるかせ関係式を考案しました。これは通常、アレクサンダー・コンウェイ多項式と呼ばれます。このかせ関係式の重要性は、1980年代初頭にヴォーン・ジョーンズがジョーンズ多項式を発見するまで認識されていませんでした。これにより、いわゆるHOMFLY多項式などの結び目多項式がさらに発見されました。

ジョーンズの発見の直後、ルイス・カウフマンは、ジョーンズ多項式が、フレーム結び目の不変量であるブラケット多項式を含む分割関数（状態和モデル）によって計算できることに気付きました。これにより、結び目理論と統計力学を結び付ける研究の道が開かれました。

1980 年代後半には、2 つの関連するブレークスルーがありました。エドワード ウィッテンは、ジョーンズ多項式と類似のジョーンズ型不変量がチャーン - サイモンズ理論で解釈できることを実証しました。ヴィクトル ヴァシリエフとミハイル グサロフは結び目の有限型不変量の理論を始めました。前述の多項式の係数は有限型であることが知られています (おそらく適切な「変数変換」の後)。

近年、アレクサンダー多項式はフレアーホモロジーと関連していることが示されました。ピーター・オズヴァースとゾルタン・サボーの結び目フレアーホモロジーの次数付きオイラー特性がアレクサンダー多項式です。

アレクサンダー・ブリッグス表記法では、結び目を交差数によって整理します。

アレクサンダー多項式とコンウェイ多項式は、左三つ葉結び目と右三つ葉結び目の違いを認識 できません。

• 
  左三つ葉結び。
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  右三つ葉結び。

したがって、の結び目の加算は結び目多項式の結び目の積となるため、グラニーノットやスクエアノットと同じ状況になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

• アレクサンダー多項式
• 括弧多項式
• HOMFLY多項式
• ジョーンズ多項式
• カウフマン多項式

• グラフ多項式、グラフ理論における多項式不変量の類似クラス
• トゥッテ多項式、ジョーンズ多項式に関連する特殊なグラフ多項式
• アレクサンダー多項式の正式な定義に対するSkein 関係と、その例。

• アダムス、コリン。『The Knot Book』。アメリカ数学会。ISBN 0-8050-7380-9。
• Lickorish, WBR (1997)。結び目理論入門。数学の大学院テキスト。第175巻。ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 0-387-98254-X。