結び目の Arf 不変量

数学の結び目理論の分野において、カヒト・アーフにちなんで名付けられた結び目のアーフ不変量は、ザイフェルト面に関連付けられた二次形式から得られる結び目の不変量である。Fが結び目のザイフェルト面である場合、ホモロジー群H ₁ ( F , Z /2 Z )には、ホモロジー群の元を表す埋め込み円の近傍における 2 を法とする完全ねじれの数を値とする二次形式がある。この二次形式のアーフ不変量は、結び目のアーフ不変量である。

を、種数gのザイフェルト面上の曲線の集合から構成される、結び目のザイフェルト行列とします。この曲線は、曲面の第一ホモロジーの基底を表します。これは、 Vが2 g × 2 g行列であり、 V − V ^Tがシンプレクティック行列であるという性質を持つことを意味します。結び目の Arf不変量は、${\displaystyle V=v_{i,j}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{g}v_{2i-1,2i-1}v_{2i,2i}{\pmod {2}}.}$

具体的には、がザイフェルト面上の交差形式のシンプレクティック基底である場合、 ${\displaystyle \{a_{i},b_{i}\},i=1\ldots g}$

${\displaystyle \operatorname {Arf} (K)=\sum \limits _{i=1}^{g}\operatorname {lk} \left(a_{i},a_{i}^{+}\right)\operatorname {lk} \left(b_{i},b_{i}^{+}\right){\pmod {2}}.}$

ここで、lk はリンク番号であり、aの正の押し出しを表します。 ${\displaystyle a^{+}}$

Arf 不変量に対するこのアプローチは、Louis Kauffmanによるものです。

2つのノットがパス移動の有限シーケンスによって関連している場合、それらのノットはパス同等であると定義されます。 ^[1]

すべての結び目は、アンクノットまたはトレフォイルのいずれかと通過同等です。これら2つの結び目は通過同等ではなく、さらに右巻きと左巻きのトレフォイルは通過同等です。^[2]

ここで、結び目の Arf 不変量を、結び目が結び目なしとパス同値である場合は 0、結び目が三つ葉とパス同値である場合は 1 と定義できます。この定義は上記の定義と同じです。

ヴォーン・ジョーンズは、結び目図に関連付けられた符号付き平面グラフの分割関数を取ることによって Arf 不変量が得られることを示しました。

このArf不変量へのアプローチはレイモンド・ロベッロによるものである。 [ ^3]

${\displaystyle \Delta (t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n}t^{n}+\cdots +c_{0}t^{2n}}$

は結び目のアレクサンダー多項式である。すると、Arf不変量は

${\displaystyle c_{n-1}+c_{n-3}+\cdots +c_{r}}$

2 を法として、n が奇数の場合はr = 0、n が偶数の場合はr = 1 となります。

村杉邦夫^[4]は、Δ(−1) ≡ ±1 modulo 8の場合に限り、Arf 不変量がゼロであることを証明しました。

フォックス・ミルナー基準は、スライスノット のアレクサンダー多項式が整数係数を持つ多項式として因数分解されることを示しており、スライスノットの行列式は平方整数であることがわかります。は奇数であるため、8 を法として 1 と合同でなければなりません。これを Murasugi の結果と組み合わせると、スライスノットの Arf 不変量が消えることがわかります。 ${\displaystyle K\subset \mathbb {S} ^{3}}$${\displaystyle \Delta (t)=p(t)p\left(t^{-1}\right)}$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle \left|\デルタ (-1)\right|}$${\displaystyle \left|\デルタ (-1)\right|}$

• カウフマン、ルイス H. (1983)。形式的結び目理論。数学ノート。第 30 巻。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08336-3。
• カウフマン、ルイス H. (1987)。結び目について。数学研究年報。第 115 巻。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-08435-1。
• カービー、ロビオン(1989)。4次元多様体の位相。数学講義ノート。第1374巻。シュプリンガー出版。ISBN 0-387-51148-2。