繊維結び目

数学の一分野である結び目理論において、3 次元球面 上の結び目またはリンクは、に対するザイフェルト面の1 パラメータ族が存在するとき、ファイバー化またはファイバー化(古い文献では Lee Neuwirth にちなんでNeuwirth 結び目と呼ばれることもある) と呼ばれ、ここでパラメータは単位円の点を通り、が に等しくない場合、と の交点はちょうど になります。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle F_{t}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F_{s}}$${\displaystyle F_{t}}$${\displaystyle K}$

例えば：

• アンクノット、トレフォイルノット、エイトの字ノットは繊維結び目です。
• ホップリンクはファイバーリンクです。

ファイバー結び目のアレクサンダー多項式はモニック、つまりtの最高および最低の累乗の係数がプラスまたはマイナス 1 である。非モニック アレクサンダー多項式を持つ結び目の例は数多くあり、たとえばツイスト結び目のアレクサンダー多項式はで、qは半ツイストの数である。^[1]特に、スティーブドア結び目はファイバー化されていない。 ${\displaystyle qt-(2q+1)+qt^{-1}}$

ファイバー結び目とリンクは、複素代数幾何学で自然に発生しますが、これに限定されるわけではありません。たとえば、複素平面曲線の各特異点は、特異点のリンクと呼ばれるファイバー結び目またはリンク上の円錐として位相的に記述できます。三つ葉結び目はカスプ特異点のリンクであり、ホップリンク（正しい方向）はノード特異点のリンクです。これらの場合、ザイフェルト面の族は、特異点のミルノアファイバ化の側面です。 ${\displaystyle z^{2}+w^{3}}$ ${\displaystyle z^{2}+w^{2}}$

結び目が繊維化されているのは、それが何らかの開いた本の分解の結合である場合のみです。 ${\displaystyle S^{3}}$

• (−2,3,7) プレッツェルノット

• Harer, John (1982). 「すべての繊維状の結び目とリンクを構築する方法」.トポロジー. 21 (3): 263–280. doi : 10.1016/0040-9383(82)90009-X . MR  0649758.
• Gompf, Robert E. ; Scharlemann, Martin ; Thompson, Abigail (2010). 「ファイバーノットと特性 2R およびスライスリボン予想に対する潜在的な反例」. Geometry & Topology . 14 (4): 2305–2347. arXiv : 1103.1601 . doi :10.2140/gt.2010.14.2305. MR  2740649.