橋梁番号

数学の結び目理論の分野において、ブリッジ数(ブリッジインデックスとも呼ばれる) は、結び目のすべての可能なブリッジ表現に必要なブリッジの最小数として定義される結び目の不変量です。

意味

結び目またはリンクが与えられた場合、線上のギャップが交差部を表すという慣例に従ってリンクの図を描きます。この図の切れ目のない弧に少なくとも 1 つの交差部が含まれている場合、その弧をブリッジと呼びます。すると、結び目のブリッジ数は、結び目の図に必要なブリッジの最小数として求められます。^[1]ブリッジ数は、1950 年代にHorst Schubertによって初めて研究されました。^[2] ^[3]

ブリッジ数は、位相的ではなく幾何学的に定義することもできます。ブリッジ表現では、平面への投影が直線である有限個のブリッジを除いて、結び目は完全に平面内にあります。同様に、ブリッジ数は、結び目のベクトルへの投影の極大値の最小数であり、ここではすべての投影と結び目のすべての配置を最小化します。この文脈では、ブリッジ数はしばしば曲がり具合と呼ばれます。

プロパティ

すべての非自明な結び目はブリッジ数が少なくとも2であるため、^[1]ブリッジ数を最小にする結び目（非自明な結び目以外）は2ブリッジ結び目です。すべてのnブリッジ結び目は2つの自明なn-絡み目に分解できることが示されており、したがって2ブリッジ結び目は有理結び目です。

KがK ₁とK _2の連結和である場合、Kのブリッジ数はK ₁とK ₂のブリッジ数の合計より1小さくなります。^[4]

その他の数値不変量

参考文献

^ ab アダムス、コリン C. (1994)、The Knot Book、アメリカ数学会、p. 65、ISBN 9780821886137。
^ シュルテンス、ジェニファー（2014）、3次元多様体入門、数学大学院研究、第151巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、p. 129、ISBN 978-1-4704-1020-9、MR3203728 。
^ シューベルト、ホルスト (1954 年 12 月)。「ユーバーアイネヌメリッシェノテニンバリアント」。数学的ツァイシュリフト。61 (1): 245–288。土井：10.1007/BF01181346。
^ シュルテンス、ジェニファー(2003)、「結び目のブリッジ数の加法性」、ケンブリッジ哲学協会数学会報、135 (3): 539–544、arXiv : math/0111032、Bibcode :2003MPCPS.135..539S、doi :10.1017/S0305004103006832、MR 2018265。

さらに読む

クロムウェル、ピーター (1994)。『結び目とつながり』ケンブリッジ。ISBN 9780521548311。

[adams-1] アダムス、コリン C. (1994)、The Knot Book、アメリカ数学会、p. 65、ISBN 9780821886137。

[2] シュルテンス、ジェニファー（2014）、3次元多様体入門、数学大学院研究、第151巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、p. 129、ISBN 978-1-4704-1020-9、MR3203728 。

[3] シューベルト、ホルスト (1954 年 12 月)。「ユーバーアイネヌメリッシェノテニンバリアント」。数学的ツァイシュリフト。61 (1): 245–288。土井：10.1007/BF01181346。

[4] シュルテンス、ジェニファー(2003)、「結び目のブリッジ数の加法性」、ケンブリッジ哲学協会数学会報、135 (3): 539–544、arXiv : math/0111032、Bibcode :2003MPCPS.135..539S、doi :10.1017/S0305004103006832、MR 2018265。