プレッツェルリンク

結び目に関する数学理論では、プレッツェルリンクは特別な種類のリンクです。これは、2つの絡み合った円形のらせんからなる有限数の絡み合いで構成されています。絡み合いは周期的に接続されており、^[2]最初の絡み合いの最初の要素は2番目の絡み合いの2番目の要素に接続され、2番目の絡み合いの最初の要素は3番目の絡み合いの2番目の要素に接続され、以下同様に続きます。最後に、最後の絡み合いの最初の要素は最初の絡み合いの2番目の要素に接続されます。結び目でもあるプレッツェルリンク（つまり、1つの要素を持つリンク）は、プレッツェル結び目です。

各タングルはねじれの数によって特徴付けられます。反時計回りまたは左巻きの場合は正、時計回りまたは右巻きの場合は負です。プレッツェルリンクの標準的な投影では、最初のタングル、 2 番目のタングル、および一般にn番目のタングルに左巻きの交差があります。 ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle p_{n}}$

プレッツェルリンクは、整数タングルを持つモンテシノスリンクとしても説明できます。

プレッツェルリンクが結び目となるのは、両方とすべてが奇数であるか、またはちょうど1つが偶数である場合のみです。^[3]${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

少なくとも 2 つがゼロの場合、プレッツェルリンクは分割されますが、その逆はfalse です。 ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$${\displaystyle p_{i}}$

プレッツェルリンクはプレッツェルリンクの鏡像です。 ${\displaystyle (-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})}$${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$

プレッツェル結合はプレッツェル結合と同位体である。したがって、プレッツェル結合もプレッツェル結合と同位体である。^[3]${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$${\displaystyle (p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})}$${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})}$${\displaystyle (p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})}$

プレッツェルリンクはプレッツェルリンクと同位体です。ただし、リンクを標準的な方法で方向付けると、これら 2 つのリンクは反対の方向になります。 ${\displaystyle (p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})}$${\displaystyle (p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})}$

(1, 1, 1) プレッツェル結び目は（右巻きの）三つ葉結び目です。(−1, −1, −1) プレッツェル結び目はその鏡像です。

(5, −1, −1)プレッツェル結び目はスティーブドア結び目 (6 ₁ )である。

p、q、r が1 より大きい異なる奇数の整数である場合、 ( p、  q、  r ) プレッツェル結び目は非可逆結び目です。

(2 p、2 q、2 r )プレッツェルリンクは、3つのリンクされた結び目によって形成されるリンクです。

(−3, 0, −3) プレッツェル結び目（四角結び目（数学））は、2つの三つ葉結び目をつなげたものです。

(0,  q , 0) プレッツェルリンクは、結び目のない結び目と別の結び目の分割和です。

モンテシノスリンクは、プレッツェルリンクを一般化した特別な種類のリンクです（プレッツェルリンクは、整数タングルを持つモンテシノスリンクとしても説明できます）。結び目でもあるモンテシノスリンク（つまり、1 つのコンポーネントを持つリンク）は、モンテシノス結び目です。

モンテシノスリンクは複数の有理的タングルメントから構成される。モンテシノスリンクの表記法の1つは である。^[4]${\displaystyle K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})}$

この表記法では、およびとはすべて整数である。この表記法で与えられるモンテシノスリンクは、整数で与えられる有理数タングルと有理数タングル の合計から構成される。${\displaystyle e}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}}$

これらの結び目とリンクは、1973年に初めて導入したスペインの位相学者ホセ・マリア・モンテシノス・アミリビアにちなんで名付けられました。^[5]

(−2, 3, 2 n + 1)プレッツェルリンクは3次元多様体 の研究に特に有用である。特に (−2,3,7)プレッツェル結び目に対するデーン手術から生じる多様体については多くの結果が述べられている。

(−2,3,8)プレッツェルリンクの補集合の双曲的体積はカタラン定数の4倍で、およそ3.66である。このプレッツェルリンク補集合は、最小の体積を持つ2つの尖端双曲多様体のうちの1つであり、もう1つはホワイトヘッドリンクの補集合である。^[6]

• トロッター、ヘイルF.：非可逆結び目が存在する、トポロジー、2（1963）、272-280。
• ブルデ、ゲルハルト。ジーチャン、ハイナー (2003)。結び目。デ・グリュイターは数学を勉強しています。 Vol. 5 (第 2 改訂増補版)。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 3110170051。ISSN  0179-0986。Zbl  1009.57003。