ワイエルシュトラス楕円関数

数学において、ワイエルシュトラス楕円関数は、特に単純な形をとる楕円関数です。カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられました。この関数群は℘関数とも呼ばれ、通常は 独特の装飾的な記号℘で 表されます。これらは、二重周期性を持つ有理型関数である楕円関数の理論において重要な役割を果たします。℘関数とその導関数は、楕円曲線をパラメータ化するために使用でき、与えられた周期格子に関して楕円関数の体を生成します。

ワイエルシュトラスの記号${\displaystyle \wp }$-関数

立方体​​${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}}$、 どこ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$は複素数で、${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$は合理的にパラメータ化できない。^{[ 1 ]}それでも、それをパラメータ化する方法を見つけたいと思う。

二次曲面の場合${\displaystyle K=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}}$単位円には、正弦関数とその導関数である余弦関数を用いた（非有理的な）パラメータ化が存在する。 $${\displaystyle \psi$$ \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K,\quad t\mapsto (\sin t,\cos t).} 正弦と余弦の周期性のため${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$が定義域として選択されるため、関数は全単射となる。

同様に、パラメータ化を取得できます。${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$二重周期${\displaystyle \wp }$-関数とその導関数、すなわち${\displaystyle (x,y)=(\wp (z),\wp '(z))}$このパラメータ化の定義域は次のとおりである。${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$これは位相的にトーラスと同等である。^{[ 2 ]}

三角関数には別の類似点がある。積分関数を考えてみよう。 $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}$$ 代入することで簡略化できます${\displaystyle y=\sin t}$そして${\displaystyle s=\arcsin x}$: $${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin x.}$$ つまり${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin x}$。したがって、正弦関数は積分関数の逆関数である。 ^{[ 3 ]}

楕円関数は楕円積分の逆関数である。特に、次のように定義する。 $${\displaystyle u(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.}$$ 次に拡張$\displaystyle u^{-1}}$複素平面に等しい${\displaystyle \wp }$-関数。^{[ 4 ]}この可逆性は複素解析において、パンルヴェ特性を満たす特定の非線形微分方程式、すなわち可動特異点として極のみを持つ方程式の解を与えるために用いられる。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} }$は、線形独立な2つの複素数である。${\displaystyle \mathbb {R} }$そして${\displaystyle \Lambda$ :=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}} は、 これらの数によって生成される周期格子である。${\displaystyle \wp }$-関数は次のように定義されます。

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\右)。}$

この級数は複素トーラス内で局所的に一様に絶対収束する${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$。

一般的には${\displaystyle 1}$そして$\displaystyle \tau }$上半平面で${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C}  :\operatorname {Im} (z)>0\}} を格子の生成元とする。$\omega _{1}}$格子をマッピングする${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$格子に同型的に${\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} \tau }$と${\textstyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$。 なぜなら${\displaystyle -\tau }$代わりに$\displaystyle \tau }$一般性を失うことなく、${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$そして定義する${\displaystyle \wp (z,\tau ):=\wp (z,1,\tau )}$その定義によれば、${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1},\omega _{2}/\omega _{1})}$。

• ${\displaystyle \wp }$は、各周期に2次の極を持つ有理型関数である。${\displaystyle \lambda }$で${\displaystyle \Lambda }$。
• ${\displaystyle \wp }$これは同次関数である。

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2})。}$

• ${\displaystyle \wp }$は偶関数です。つまり、${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$すべての人々のために${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$これは次のように理解できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z).\end{aligned}}}$

最後から2番目の等式が成り立つのは、${\displaystyle \{-\lambda$ :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda } 。和は絶対収束するので、この並べ替えによって極限は変わりません。

• の導関数${\displaystyle \wp }$は次のように与えられる：^{[ 6 ]}$${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}.}$$
• ${\displaystyle \wp }$そして${\displaystyle \wp '}$周期は二重周期である$\displaystyle \omega _{1}}$そして$\displaystyle \omega _{2}}$^{[ 6 ]}これは次のことを意味します。$${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z+\omega _{1})&=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2}),\ {\textrm {and}}\\[3mu]\wp '(z+\omega _{1})&=\wp '(z)=\wp '(z+\omega) _{2}).\end{整列}}}$$したがって、${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$そして${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$すべての人々のために${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$。

させて${\displaystyle r:=\min\{{|\lambda }|:0\neq \lambda \in \Lambda \}}$。それから${\displaystyle 0<|z|<r}$の${\displaystyle \wp }$-関数には以下のローラン展開があります$${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$$ どこ $${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-n}}$$のために${\displaystyle n\geq 3}$いわゆるアイゼンシュタインシリーズである。^{[ 6 ]}

セット${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$そして${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$それから${\displaystyle \wp }$-関数は微分方程式^{[ 6 ]を満たす}$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}.}$$この関係は、べき乗の線形結合 を形成することによって検証できます。${\displaystyle \wp }$そして${\displaystyle \wp '}$ポールをなくす${\displaystyle z=0}$これにより、リウヴィルの定理により定数でなければならない完全な楕円関数が得られます。^{[ 6 ]}

不変量

上記の微分方程式の係数${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}}$これらは不変量として知られています。格子に依存するため${\displaystyle \Lambda }$これらは関数として見ることができる${\displaystyle \omega _{1}}$そして${\displaystyle \omega _{2}}$。

級数展開は、${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}}$次数が同次関数である${\displaystyle -4}$そして${\displaystyle -6}$。つまり^{[ 7 ]}$${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$$$${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$$のために${\displaystyle \lambda \neq 0}$。

もし${\displaystyle \omega _{1}}$そして${\displaystyle \omega _{2}}$次のように選ばれる${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$、${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}}$上半平面上の関数として解釈できる${\displaystyle \mathbb {H}$ :=\{z\in \mathbb {C}  :\operatorname {Im} (z)>0\}} .

させて${\displaystyle \tau ={\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$1つは^{[ 8 ]}$${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2}),}$$$${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).}$$ つまり、g ₂とg ₃は、この操作によってのみスケーリングされるということです。 $${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$$そして$${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau ).}$$ 関数として${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$、${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}}$これらは、いわゆるモジュール型と呼ばれる形態である。

フーリエ級数​${\displaystyle g_{2}}$そして${\displaystyle g_{3}}$以下のように与えられます: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle g_{2}(\tau )={\frac {4}{3}}\pi ^{4}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]}$$$${\displaystyle g_{3}(\tau )={\frac {8}{27}}\pi ^{6}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]}$$ どこ $${\displaystyle \sigma _{m}(k):=\sum _{d\mid {k}}d^{m}}$$は除数関数で あり、${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$はノームです。

モジュラー判別式

モジュラー判別式${\displaystyle \Delta }$は、微分方程式の特性多項式の判別式として定義される。$${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$$次のように： $${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.}$$ 判別式は重みのモジュラー形式である${\displaystyle 12}$つまり、モジュラー群の作用の下で、それは次のように変換される 。$${\displaystyle \Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )}$$ どこ${\displaystyle a,b,d,c\in \mathbb {Z} }$と${\displaystyle ad-bc=1}$[ ^{10 ]​}

ご了承ください${\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}}$どこ${\displaystyle \eta }$はデデキントのイータ関数である。^{[ 11 ]}

フーリエ係数については${\displaystyle \Delta }$、ラマヌジャンのタウ関数を参照してください。

数値計算においては、ワイエルシュトラスの楕円関数をヤコビの楕円関数を用いて計算することがしばしば便利である。

基本的な関係は次のとおりです。^{[ 15 ]}$${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}}$$ どこ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$そして${\displaystyle e_{3}}$上記で説明した3つの根であり、ヤコビ関数の 絶対値kは$${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}}$$ そして彼らの議論wは等しい $${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$$

機能${\displaystyle \wp (z,\tau )=\wp (z,1,\omega _{2}/\omega _{1})}$ヤコビのシータ関数で表すことができる。 $${\displaystyle \wp (z,\tau )=\left(\pi \theta _{2}(0,q)\theta _{3}(0,q){\frac {\theta _{4}(\pi z,q)}{\theta _{1}(\pi z,q)}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\left(\theta _{2}^{4}(0,q)+\theta _{3}^{4}(0,q)\right)}$$ どこ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$ノームと${\displaystyle \tau }$周期比は${\displaystyle (\tau \in \mathbb {H} )}$^{[ 16 ]}これは、計算のための非常に高速なアルゴリズムも提供する。${\displaystyle \wp (z,\tau )}$。

3次曲線を複素射影平面に埋め込むことを考えてみましょう。

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\}\cup \{O\}\subset \mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {P} _{2}(\mathbb {C} ).}$

どこ${\displaystyle O}$無限遠線上にある点${\displaystyle \mathbb {P} _{1}(\mathbb {C} )}$この三次方程式には、有理パラメータ化は存在しません。${\displaystyle \Delta \neq 0}$^{[ 1 ]}この場合、それは楕円曲線とも呼ばれます。ただし、同次座標では、${\displaystyle \wp }$-関数とその導関数${\displaystyle \wp '}$: ^{[ 17 ]}

${\displaystyle \varphi (\wp ,\wp '):\mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },\quad z\mapsto {\begin{cases}\left[\wp (z):\wp '(z):1\right]&z\notin \Lambda \\\left[0:1:0\right]\quad &z\in \Lambda \end{cases}}}$

地図${\displaystyle \varphi }$全単射であり、楕円曲線をパラメータ化する${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$。

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$はアーベル群であり、商位相を備えた位相空間である。

すべてのワイエルシュトラス三次関数は、このように与えられることが示せる。つまり、すべてのペアに対して${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$と${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$格子が存在する${\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}}$、したがって

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$そして${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$[ ^{18 ]​}

加法定理は^{[ 19 ]}、もし${\displaystyle z,w,}$そして${\displaystyle z+w}$属していない${\displaystyle \Lambda }$、 それから $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\wp (z)&\wp '(z)\\1&\wp (w)&\wp '(w)\\1&\wp (z+w)&-\wp '(z+w)\end{bmatrix}}=0.}$$ これは、ポイントが${\displaystyle P=(\wp (z),\wp '(z)),}$${\displaystyle Q=(\wp (w),\wp '(w)),}$そして${\displaystyle R=(\wp (z+w),-\wp '(z+w))}$これらは共線であり、楕円曲線の群法則の幾何学的形式である。

これは定数を考慮することで証明できる^{[ 20 ]}${\displaystyle A,B}$そのため $${\displaystyle \wp '(z)=A\wp (z)+B,\quad \wp '(w)=A\wp (w)+B.}$$ 次に楕円関数 $${\displaystyle \wp '(\zeta )-A\wp (\zeta )-B}$$ ゼロに3次の極があり、したがって合計が に属する3つのゼロがある。${\displaystyle \Lambda }$2つのゼロは${\displaystyle z}$そして${\displaystyle w}$したがって、3番目は${\displaystyle -z-w}$。

ワイエルシュトラスの楕円関数は、通常、ワイエルシュトラス自身が1862年から1863年の講義で導入した、やや特殊な小文字の筆記体℘で表記されます。^{[脚注1 ]}これは、通常の数学の筆記体P: 𝒫と𝓅と混同してはいけません。

コンピューティングでは、文字 ℘ はTeX\wpのように使用できます。Unicode では、コードポイントはU+2118 ℘ SCRIPT CAPITAL Pで、より正確なエイリアスはweierstrass elliptic functionです。^{[脚注 2 ]} HTMLでは、またはのようにエスケープできます。℘℘

• ワイエルシュトラス関数
• ヤコビ楕円関数
• レムニスケート楕円関数

• アブラモウィッツ、ミルトン；ステガン、アイリーン・アン編（1983年）[1964年6月]。「第18章」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』。応用数学シリーズ。第 55巻（第10版（1972年12月）の修正を加えた第9版再版；初版 ）。ワシントンDC；ニューヨーク：米国商務省国立標準局；ドーバー出版。p .  627。ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• NI Akhiezer、『楕円関数論の基礎』（1970年、モスクワ）、英語訳『AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79』（1990年、AMS、ロードアイランド州）ISBN 0-8218-4532-2
• トム・M・アポストル著、『数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数』第2版（1990年）、シュプリンガー、ニューヨーク、ISBN 0-387-97127-0（第1章を参照。）
• K. チャンドラセカラン著『楕円関数』（1980年）、シュプリンガー・フェルラーク社ISBN 0-387-15295-4
• コンラート・クノップ著『関数論II』（1947年）、ドーバー出版刊。英語訳版『関数論』（1996年）、ドーバー出版刊。ISBN 0-486-69219-1
• セルジュ・ラング著『楕円関数』 （1973年） 、アディソン・ウェスリー社、ISBN 0-201-04162-6
• E・T・ウィテカーとG・N・ワトソン、 『現代解析学講座』、ケンブリッジ大学出版局、1952年、第20章および第21章

• 「ワイエルシュトラス楕円関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Mathworld の Weierstrass の楕円関数。
• WP Reinhardt と PL Walker によるDLMF (デジタル数学関数ライブラリ) の第 23 章、ワイエルシュトラス楕円関数とモジュラー関数。
• ワイエルシュトラスのP関数とその導関数をC言語で実装したDavid Dumas氏による作品