一様絶対収束

数学において、一様絶対収束は関数級数の収束の一種である。絶対収束と同様に、和の順序が変更されても収束が維持されるという便利な特性がある。

収束する数列は、新しい数列が発散するように並べ替えられることがよくあります。ただし、これは非負数の数列では不可能なので、絶対収束の概念によってこの現象は排除されます。一様収束する関数の列を扱う場合、同じ現象が発生します。つまり、数列は非一様収束の列、または点ごとに収束しない列に並べ替えられる可能性があります。これは非負関数の列では不可能なので、一様絶対収束の概念を使用してこれらの可能性を排除できます。

集合Xと関数（または任意のノルムベクトル空間）が与えられたとき、級数 ${\displaystyle f_{n}:X\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)}$

非負関数の級数 が一様絶対収束するとは、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|f_{n}(x)|}$

一様収束する。^[1]

級数は、一様絶対収束しなくても、一様収束と絶対収束の両方になり得ます。たとえば、開区間 (−1,0) でƒ _n ( x ) = x ⁿ / nの場合、級数 Σ f _n ( x ) は、部分和を Σ(−1) ⁿ / nの部分和と比較することで一様収束します。また、級数 Σ| f _n ( x )| は、等比級数テストにより各点で絶対収束しますが、 Σ| f _n ( x )| は一様収束しません。直感的には、これはx が−1 に近づくにつれて絶対収束が遅くなり、収束は維持されるが絶対収束が失敗するためです。

関数の級数が位相空間の各点のある近傍で一様絶対収束する場合、その級数は局所一様絶対収束します。級数が位相空間のすべてのコンパクト部分集合で一様絶対収束する場合、その級数はコンパクト（一様）絶対収束します。位相空間が局所コンパクトである場合、これらの概念は同値です。

• C (または任意のバナッハ空間)への関数の級数が一様絶対収束する場合、それは一様収束します。
• 一様絶対収束は、級数の順序とは無関係です。これは、非負関数の級数の場合、一様収束は、任意の ε > 0 に対して、級数の項が有限個存在し、これらの項を除外すると、合計が定数関数 ε より小さい級数になるという性質と同等であり、この性質は順序とは関係がないためです。

• 収束のモード（注釈付きインデックス）