ワイエルシュトラス関数

数学において、ワイエルシュトラス関数は、ワイエルシュトラスの楕円関数の補助となる複素変数の特殊関数です。カール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられました。シグマ、ゼータ、関数の関係は、正弦、余弦、二乗余割関数の関係に似ています。正弦の対数微分は余弦であり、その微分は負の二乗余割です。 ${\displaystyle \wp}$

2次元格子に関連するワイエルシュトラスのシグマ関数は、次の積として定義される。 ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}$

ここで、または は周期の基本ペアを表します。 ${\displaystyle \Lambda^{*}}$${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$${\displaystyle \{\omega _{1},\omega _{2}\}}$

ワイエルシュトラスの因数分解定理を正弦関数にも関連させ て注意深く操作することで、潜在的に扱いやすい無限積の定義がもう1つ得られる。

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}$

および の任意の値に対して、という表記法が使用されています(以下のゼータ関数を参照)。 ${\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$

ワイエルシュトラスのゼータ関数は、以下の和で定義される。

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1} {z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{zw}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}$

ワイエルシュトラスのゼータ関数はシグマ関数の 対数微分です。ゼータ関数は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_ {2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

ここで、重み 2 k + 2 のアイゼンシュタイン級数です 。 ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$

ゼータ関数の導関数は であり、 はワイエルシュトラスの楕円関数です。 ${\displaystyle -\wp (z)}$${\displaystyle \wp (z)}$

ワイエルシュトラスのゼータ関数は、数論における リーマンのゼータ関数と混同しないでください。

ワイエルシュトラスのイータ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ 任意の }}z\in \mathbb {C} }$そして格子内の任意のw${\displaystyle \Lambda}$

これは明確に定義されており、格子ベクトルwのみに依存します。ワイエルシュトラスのイータ関数は、デデキントのイータ関数やディリクレのイータ関数と混同しないでください。 ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$

ワイエルシュトラスのp関数はゼータ関数と次の関係がある。

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ 任意の }}z\in \mathbb {C } }$

ワイエルシュトラス ℘ 関数は、各格子点に二重極を持ち、他の極を持たない N = 2 次偶楕円関数です。

1 つの周期が実数で、これを にスケールでき、もう 1 つの周期が の極限まで取られて関数が単一周期のみになる状況を考えます。対応する不変量は判別式です。すると となり、上記の無限積の定義から次の等式が成り立ちます。 ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi }$${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}$${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}$

他の二重周期格子上の他の正弦関数に対する一般化は

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}} \演算子名 {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$

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