ドット積

数学において、内積またはスカラー積^{[注 1]}は、2つの等しい長さの数列（通常は座標ベクトル）を受け取り、1つの数を返す代数演算です。ユークリッド幾何学では、2つのベクトルの直交座標の内積が広く使用されています。これはユークリッド空間で定義できる唯一の内積ではありませんが、ユークリッド空間の内積（またはまれに射影積）と呼ばれることがよくあります（詳細については 内積空間を参照）。

代数的には、ドット積は2 つの数列の対応する要素の積の合計です。幾何学的には、 2 つのベクトルのユークリッド大きさとそれらの間の角度のコサインの積です。これらの定義は、直交座標を使用する場合は同等です。現代の幾何学では、ユークリッド空間はベクトル空間を使用して定義されることがよくあります。この場合、ドット積は長さ (ベクトルの長さは、ベクトル自体のドット積の平方根です) と角度 (2 つのベクトル間の角度のコサインは、それらのドット積をそれらの長さの積で割った商です) を定義するために使用されます。

「ドット積」という名前は、 この演算を指定するためによく使用されるドット演算子「 ・」に由来しています。 ^[1]「スカラー積」という別名は、結果がベクトルではなくスカラーであることを強調しています（ 3次元空間での ベクトル積の場合と同様）。

ドット積は代数的にも幾何学的にも定義できます。幾何学的定義はベクトルの角度と距離 (大きさ) の概念に基づいています。これら 2 つの定義が同等であることは、ユークリッド空間に 直交座標系があることに依存します。

ユークリッド幾何学の現代的な表現では、空間の点はそれらの直交座標によって定義され、ユークリッド空間自体は一般に実座標空間 と同一視される。このような表現では、長さと角度の概念はドット積によって定義される。ベクトルの長さはベクトル自身のドット積の平方根として定義され、長さ 1 の 2 つのベクトル間の (無指向の) 角度の余弦はそれらのドット積として定義される。したがって、ドット積の 2 つの定義の同値性は、ユークリッド幾何学の古典的な定式化と現代的な定式化の同値性の一部である。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

2つのベクトル と のドット積は、正規直交基底に関して指定され、次のように定義されます。 ^[2] ここで は和を表し、 はベクトル空間の次元です。たとえば、3次元空間では、ベクトルとのドット積は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle [1,3,-5]}$${\displaystyle [4,-2,-1]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

同様に、ベクトルとそれ自身のドット積は次のようになります。 ${\displaystyle [1,3,-5]}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

ベクトルが列ベクトルと同一視される場合、ドット積は行列積 として表すこともできます。 ここで、は の転置を表します。$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$${\displaystyle a{^{\mathsf {T}}}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$

上記の例を次のように表現すると、1 × 3 行列 (行ベクトル) に 3 × 1 行列 (列ベクトル)を掛けて、一意のエントリで識別される 1 × 1 行列が得られます。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

ユークリッド空間において、ユークリッドベクトルは大きさと方向の両方を持つ幾何学的オブジェクトです。ベクトルは矢印として表すことができます。ベクトルの大きさはベクトルの長さで、方向は矢印が指す方向です。ベクトルの大きさは で表されます。2つのユークリッドベクトル と のドット積は^{[3] [4] [1]}で定義されます。 ここで はと の間の角度です。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$

特に、ベクトルと が直交している場合（つまり、角度がまたは である場合）、 となり、 次のようになります。 反対に、ベクトル と が共方向である場合、ベクトル と の間の角度は 0 となり、 次のようになります。 これは、ベクトルとそれ自身のドット積が となり、 ベクトルの ユークリッド長さ の公式 を与えること を意味します。${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle 90^{\circ}}$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$${\displaystyle \cos0=1}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$

ユークリッド ベクトルの 方向へのユークリッド ベクトルのスカラー投影(またはスカラー成分) は、との間の角度で あるで与えられます 。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$

ドット積の幾何学的定義では、これは と書き直すことができます 。 ここでは の方向の単位ベクトルです。 $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$${\displaystyle \mathbf {b} }$

ドット積は幾何学的に次のように特徴付けられる^[5]。 このように定義されたドット積は、各変数のスケーリングに関して同次であり、任意のスカラーに対して、 分配法則 も満たすため、 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\ |.}$$${\displaystyle \alpha}$$${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

これらの特性は、ドット積が双線形形式であるとまとめることができます。さらに、この双線形形式は正定値であり、つまり が負になることはなく、 がゼロになるのは零ベクトル の 場合のみであることを意味します。${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$

が における標準基底ベクトルである場合、次のように書くことができます 。 ベクトルは正規直交基底であり、つまり、ベクトルの長さが単位であり、互いに直角をなすということです。これらのベクトルの長さは単位であり、ベクトル は互いに直角をなすため、 である場合、 このように一般に次のように言うことができます。 ここで、はクロネッカーのデルタです。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$${\displaystyle i\neq j}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$

また、幾何学的定義により、任意のベクトルおよびベクトルに対して、 が方向のベクトルの成分で あることがわかります 。等式の最後のステップは図からわかります。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

ここで、ドット積の幾何学的バージョンの分配法則を適用すると、 ドット積の代数的定義とまったく同じ式が得られます。したがって、幾何学的ドット積は代数的ドット積に等しくなります。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$

、、が実数ベクトルで、、、がスカラーである場合、ドット積は次の性質を満たします。[ ^{2] [3} ]${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {d} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \delta }$

可換性

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}$$これは定義（はと の間の角度）から導かれる：^[6]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}$$

交換法則は代数的定義によって簡単に証明することができ、より一般的な空間（角度の概念は幾何学的に直観的ではないかもしれないが、類似の積は定義できる）では、2つのベクトル間の角度は次のように定義できる。 $${\displaystyle \theta =\operatorname {arccos} \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\right).}$$

双線形（両方の引数で加法、分配法、スカラー乗法）

$${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )\cdot (\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d} )=}$$

$${\displaystyle =\alpha (\mathbf {a} \cdot (\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d} ))+\beta (\mathbf {b} \cdot (\gamma \mathbf {c} +\delta \mathbf {d} ))=}$$ $${\displaystyle =\alpha \gamma (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )+\alpha \delta (\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )+\beta \gamma (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )+\beta \delta (\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} ).}$$

関連性がない

スカラーとベクトルのドット積は定義されていないため、結合法則に関係する式、またはは両方とも定義が不十分です。^[7]ただし、前述のスカラー乗算の性質は、「スカラーとドット積の結合法則」と呼ばれることもあります^{[8] 。}または、「ドット積はスカラー乗算に関して結合的である」と言うこともできます。^[9]${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )}$${\displaystyle c(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(c\mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot (c\mathbf {b} )}$

直交

2 つの非ゼロベクトルとが直交するのは、次の場合のみです。${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0}$

キャンセル不可

通常の数の乗算では の場合、 がゼロでない限りは常に等しくなりますが、ドット積は の打ち消し則に従いません。${\displaystyle ab=ac}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$

かつの場合、分配法則により、次のように書くことができます。上記の結果から、これは がに垂直であることを意味し、それでも が可能であり、したがって が可能になります。${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )=0}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )}$${\displaystyle (\mathbf {b} -\mathbf {c} )\neq \mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {b} \neq \mathbf {c} }$

積のルール

およびがベクトル値の微分可能関数である場合、 の導関数（プライム記号で示される）は、次の規則で与えられる。${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle {}'}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$$${\displaystyle (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )'=\mathbf {a} '\cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} '.}$$

角度 で分離された2 つのベクトルとが与えられると(上の図を参照)、それらは 3 番目の辺 を持つ三角形を形成します。、、がそれぞれ、、、の長さを表すものとします。これとそれ自身のドット積は次のようになります。 これは余弦定理です。 ${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$

内積と外積を含む 2 つの 3 項演算があります。

3 つのベクトルのスカラー三重積は次のように定義されます 。 その値は、3 つのベクトルの直交座標を列とする行列の行列式です。これは、3 つのベクトルによって定義される平行六面体の符号付き体積であり、3 つのベクトルの外積の 3 次元の特殊ケースと同型です。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).}$$

ベクトル三重積は次のように定義されます。^{[2] [3]この等式は} ラグランジュの公式 としても知られ、どのベクトルが点線で結ばれているかを覚えておけば、「ACBマイナスABC」と覚えることができます。この公式は物理学におけるベクトル計算を簡略化するために応用されています。 $${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\,\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\,\mathbf {c} .}$$

物理学では、ドット積は 2 つのベクトルを受け取り、スカラー量を返します。これは「スカラー積」とも呼ばれます。2 つのベクトルのドット積は、2 つのベクトルの大きさと 2 つのベクトル間の角度のコサインの積として定義できます。つまり、ドット積は 、最初のベクトルの 2 番目のベクトルへの投影と 2 番目のベクトルの大きさの積として定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta }$$

例えば: ^{[10] [11]}

• 機械的な仕事は力と変位ベクトルの内積であり、
• パワーは力と速度のドット積です。

複素数要素を持つベクトルの場合、与えられたドット積の定義を使用すると、まったく異なる特性が得られます。たとえば、ベクトル とそれ自身とのドット積は、ベクトルがゼロベクトルでなくてもゼロになることがあります (たとえば、これはベクトル で発生します)。これは、長さや角度などの概念に影響を及ぼします。正定値ノルムなどの特性は、ドット積の対称性と双線形性を放棄する代わりに、別の定義^{[12] [2]}によって救済できます。 ここで、は の複素共役です。ベクトルが列ベクトルで表される場合、ドット積は、上付き文字 H で表される共役転置 を含む行列積として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$ $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$${\displaystyle b_{i}}$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

実数成分を持つベクトルの場合、この定義は実数の場合と同じです。任意のベクトルとそれ自身のドット積は非負の実数であり、ゼロベクトルを除いて非ゼロです。ただし、複素ドット積は共役線型であり、では線型ではないため、双線型ではなくセスクイ線型です。ドット積は対称ではありません 。2つの 複素ベクトル間の角度は次のように表されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

複素ドット積は、数学や物理学で広く使用されているエルミート形式と一般内積空間の概念につながります。

行ベクトルの共役転置を含む複素ベクトルの自己内積は、ユークリッドノルムにちなんで、ノルムの二乗、とも呼ばれます。これは、複素スカラーの絶対値の二乗のベクトル一般化です(ユークリッド距離の二乗も参照)。 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$

内積は、ドット積をスカラー体（実数体または複素数体）上の抽象ベクトル空間に一般化します。通常、内積は山括弧を使用してと表記されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$

複素数体上の 2 つのベクトルの内積は、一般に複素数であり、双線型ではなく2 乗線型です。内積空間はノルムベクトル空間であり、ベクトルとそれ自身との内積は実数かつ正定値です。

ドット積は、有限個の要素を持つベクトルに対して定義されます。したがって、これらのベクトルは離散関数と見なすことができます。つまり、長さベクトルは、定義域を持つ関数であり、関数/ベクトルによるの像の表記法です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u}$

この概念は、二乗積分可能な関数に一般化することができる。ベクトルの内積が対応する成分の和をとるのと同じように、関数の内積はある測度空間 上の積分として定義される。^[2]${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ $${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{X}uv\,{\text{d}}\mu .}$$

たとえば、およびが標準ルベーグ測度を持つのコンパクト部分集合上の連続関数である場合、上記の定義は次のようになります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{K}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} .}$$

これをさらに複素連続関数 およびに一般化すると、上記の複素内積との類推により次の式が得られます。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{K}\psi (z){\overline {\chi (z)}}\,{\text{d}}z.}$$

内積には重み関数（つまり、内積の各項に値で重みを付ける関数）があります。明示的には、関数と重み関数に関する内積は、 ${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle v(x)}$${\displaystyle r(x)>0}$$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

行列の二重内積はフロベニウスの内積であり、ベクトルの内積に類似している。これは、同じサイズの 2つの行列の対応する成分の積の和として定義される。 また、実数行列の場合は、 ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).}$$$${\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}).}$$

行列を二項行列として記述すると、異なる二重ドット積を定義できます ( 「二項行列」§「二項行列と二項行列の積」を参照)。ただし、これは内積ではありません。

次数 のテンソルと 次数 のテンソルの内積は次数 のテンソルです。詳細については、 テンソル収縮を参照してください。${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n+m-2}$

ベクトルの浮動小数点ドット積を計算する単純なアルゴリズムでは、壊滅的な相殺が発生する可能性があります。これを回避するには、 Kahan 加算アルゴリズムなどのアプローチが使用されます。

ドット積関数は以下に含まれています:

• BLASレベル1実数SDOT、DDOT複素数CDOTU、、、ZDOTU = X^T * YCDOTCZDOTC = X^H * Y
• Fortranまたはdot_product(A,B)​sum(conjg(A) * B)
• Juliaまたは  A' * B標準ライブラリLinearAlgebradot(A, B)
• R（プログラミング言語）sum(A * B)のベクトル、またはより一般的には行列の場合、A %*% B
• Matlabまたは  A' * B  または  conj(transpose(A)) * B  または  sum(conj(A) .* B)  ​  dot(A, B)
• Python (パッケージNumPy )    または  np.matmul(A, B)  または  np.dot(A, B)np.inner(A, B)
• GNU Octaveおよび  sum(conj(X) .* Y, dim)Matlab と同様のコード
• Intel oneAPI 数値演算カーネル ライブラリ real p?dot dot = sub(x)'*sub(y); complex p?dotcdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)

ウィキメディア・コモンズには、スカラー積に関連するメディアがあります。

• 「内積」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 複素ベクトルを含むドット積の説明
• 「Dot Product」、Bruce Torrence 著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。