セスクイライン形式

数学において、セスクイリニア形式は、ユークリッド空間のドット積の概念を一般化した双線型形式の一般化です。双線型形式は各引数が線形ですが、セスクイリニア形式では引数の 1 つを半線形に「ねじる」ことができます。これがセスクイリニア形式の名前の由来です。セスクイリニア形式は、ラテン語の数字接頭辞sesqui- (「1.5」) に由来しています。ドット積の基本概念 (ベクトルのペアからスカラーを生成する) は、より広い範囲のスカラー値を許可することで一般化でき、おそらく同時に、ベクトルの定義を広げることもできます。

動機となる特殊なケースは、複素ベクトル空間V上のセスクイリニア形式です。これは、一方の引数では線形であるが、もう一方の引数の線形性を複素共役によって「ねじる」 (もう一方の引数では反線形であると言われる) 写像V × V → Cです。このケースは、数理物理学のアプリケーションで自然に発生します。もう 1 つの重要なケースでは、スカラーを任意のフィールドから取得でき、ねじれはフィールドの自己同型によって提供されます。

射影幾何学への応用では、スカラーが分割環（歪体）Kから来ている必要があり、これは「ベクトル」がKモジュールの要素に置き換えられる必要があることを意味します。非常に一般的な設定では、任意の環Rの Rモジュール上でセスクイリニア形式を定義できます。

セスクイリニア形式は、複素ベクトル空間上のエルミート形式の基本概念を抽象化し一般化したものである。エルミート形式は、物理学では複素ヒルベルト空間上の内積としてよく見られる。このような場合、 C ⁿ上の標準的なエルミート形式は次のように表される。

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

ここで、 はの複素共役を表します。この積は、 C ⁿの正規直交基底、または基底をまったく使用していない状況に一般化できます。 の追加の因子を積に挿入すると、以下でより正確に定義される歪エルミート形式が得られます。定義を複素数に限定する特別な理由はありません。これは、非公式には環の「複素共役」の一般化された概念であると理解されている、反自己同型 を持つ任意の環に対して定義できます。 ${\displaystyle {\overline {w}}_{i}}$${\displaystyle w_{i}~.}$${\displaystyle i}$

どの引数を線形にするかについては慣例が異なります。可換なケースでは、複素ベクトル空間上のセスクイリニア形式を扱うセクションを除いて、数学の文献で一般的であるように、最初の引数を線形とします。そのセクションでは別の慣例を使用し、最初の引数を共役線形（つまり反線形）とし、2番目の引数を線形とします。これは主に物理学者によって使用される慣例であり^[1]、量子力学におけるディラックの ブラケット表記法に由来します。また、の通常の（ユークリッド）積の定義とも一致しています。 ${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle w^{*}z}$

より一般的な非可換設定では、右モジュールでは 2 番目の引数を線形とし、左モジュールでは 1 番目の引数を線形とします。

仮定: このセクションでは、セスクイライン形式は最初の引数では反線型であり、2 番目の引数では線型です。

複素ベクトル空間 上の写像がセスクイリニアであるとは、 ${\displaystyle V}$${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y ,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}}$

すべてとすべてについてここで、はスカラーの複素共役である${\displaystyle x,y,z,w\in V}$${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$${\displaystyle {\overline {a}}}$${\displaystyle a.}$

複素セスクイリニア形式は、複素共役ベクトル空間を とする 複素双線形写像 として見ることもできる。テンソル積の普遍的性質により、これらは複素線形写像と1対1に対応する。 $${\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle {\overline {V}}}$${\displaystyle V.}$$${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C} .}$$

を固定すると、写像は（つまり、双対空間の要素）上の線型関数となる。同様に、写像は、上の共役線型関数となる。${\displaystyle z\in V}$${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle w\mapsto \varphi (w,z)}$ ${\displaystyle V.}$

上の任意の複素セスクイリニア形式が与えられたとき、共役転置を介して2 番目の複素セスクイリニア形式を定義できます。 一般に、と は異なります。これらが同じである場合、 はエルミートであると言われます。これらが互いの負である場合、 は歪エルミートであると言われます。すべてのセスクイリニア形式は、エルミート形式と歪エルミート形式の和として表すことができます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \psi}$$${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$

が有限次元複素ベクトル空間である場合、任意のセスクイリニア形式の基底に対しては行列で表され、 で与えられる 。 ここでは共役転置である。行列の成分は次のように与えられる。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i}}$${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle A,}$$${\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum _{i}w_{i}e_{i},\sum _{j}z_{j}e_{j}\right)=\ sum _{i}\sum _{j}{\overline {w_{i}}}z_{j}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\dagger }アズ。}$$${\displaystyle w^{\dagger}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).}$

エルミート形式という用語は、以下で説明するものとは異なる概念を指す場合もあります。つまり、エルミート多様体上の特定の微分形式を指す場合もあります。

複素エルミート形式(対称セスクイリニア形式とも呼ばれる) は、次のセスクイリニア形式です。 上の標準エルミート形式は、(ここでも、2 番目の変数が線形で、1 番目の変数が共役線形であるという 「物理学」の慣例を使用して) 次のように与えられます。 より一般的には、任意の複素ヒルベルト空間上の内積はエルミート形式です。 ${\displaystyle h:V\times V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w)}}.}$$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$$${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$$

エルミート形式ではSU(1,1)群を定義するためにマイナス符号が導入されます。 ${\displaystyle ww^{*}-zz^{*}}$

エルミート形式のベクトル空間はエルミート空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (V,h)}$

複素エルミート形式の行列表現はエルミート行列です。

単一のベクトルに適用された複素エルミート形式は 常に実数である。複素セスクイリニア形式がエルミートであるのは、関連する二次形式がすべての$${\displaystyle |z|_{h}=h(z,z)}$$${\displaystyle z\in V.}$

複素歪エルミート形式(反対称セスクイリニア形式とも呼ばれる) は、次のような 複素セスクイリニア形式です。 すべての複素歪エルミート形式は、虚数単位とエルミート形式の積として表すことができます。 ${\displaystyle s:V\times V\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w)}}.}$$ ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}}}$

複素歪エルミート形式の行列表現は歪エルミート行列です。

単一のベクトルに適用された複素歪エルミート形式は 常に純虚数になります。 $${\displaystyle |z|_{s}=s(z,z)}$$

このセクションは、分割環Kが可換である場合にもそのまま適用されます。その場合、より具体的な用語も適用されます。分割環は体であり、反自己同型も自己同型であり、右モジュールはベクトル空間です。以下は、式の適切な並べ替えを行った左モジュールに適用されます。

右K加群M上のσセスクイリニア形式は、Mのすべてのx、yおよびKのすべてのα、βに対して、 Kの反自己同型σを 伴う双加法写像φ  : M × M → Kである。

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\sigma (\alpha )\,\varphi (x,y)\,\beta .}$

任意の非ゼロのセスクイリニア形式φに関連する反自己同型σ は、 φによって一意に決定されます。

加群M上のセクリニア形式φとMの部分空間（部分加群）Wが与えられたとき、φに関するWの直交補集合は

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.}$

同様に、φ ( x , y ) = 0のとき、 x ∈ Mはφに関してy ∈ Mと直交し、x ⊥ _φ y (または、文脈からφ が推測できる場合は単にx ⊥ y ) と書きます。この関係は対称である必要はありません。つまり、x ⊥ y はy ⊥ xを意味しません(ただし、以下の§ 反射性を参照してください)。

セスクイリニア形式φが反射的であるとは、Mの任意のx、yに対して、

${\displaystyle \varphi (x,y)=0}$暗示する${\displaystyle \varphi (y,x)=0.}$

つまり、導かれる直交関係が対称であるとき、セスクイライン形式は反射的になります。

σセスクイリニア形式φが( σ , ε )エルミート形式であるとは、 Kにε が存在し、 Mの任意のx、yに対して、

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))\,\varepsilon .}$

ε = 1の場合、その形式はσ -エルミートと呼ばれ、ε = −1の場合、 σ -反エルミートと呼ばれます。( σが暗示される場合は、それぞれ単にエルミートまたは反エルミートと呼ばれます。)

非ゼロの( σ , ε ) -エルミート形式の場合、 Kのすべてのαに対して、

${\displaystyle \sigma (\varepsilon )=\varepsilon ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma (\sigma (\alpha ))=\varepsilon \alpha \varepsilon ^{-1}.}$

また、φ ( x , x )は写像α ↦ σ ( α ) εの不動点となる。この写像の不動点はKの加法群の部分群を形成する。

( σ , ε ) - エルミート形式は再帰的であり、すべての再帰的σ - セスキリニア形式は、一部のεについては( σ , ε ) - エルミート形式です。^{[2] [3] [4] [5]}

σ が恒等写像（すなわちσ = id ）である特別な場合、Kは可換、φ は双線型形式、ε ² = 1 である。このとき、ε = 1に対して双線型形式は対称と呼ばれ、ε = −1に対しては歪対称と呼ばれる。^[6]

V を有限体 F = GF( q ² )上の 3 次元ベクトル空間とします( qは素数ベキ)。標準基底に関して、x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ )およびy = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ )と書き、写像φ を次のように定義します。

${\displaystyle \varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{}^{q}.}$

σ  : t ↦ t ^q写像はFの逆自己同型写像​​である。したがって、写像φはσセスクイリニア形式である。この形式に関連付けられた行列M _{φ は}単位行列である。これはエルミート形式である。

仮定: このセクションでは、セスクイリニア形式は、第 2 (第 1) 引数において反線型(線型) です。

射影幾何学 Gにおいて、包含関係を反転する部分空間の 順列 δ 、すなわち

Gのすべての部分空間S、 Tに対して、 S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^{δ 、}

は相関と呼ばれます。バーコフとフォン・ノイマン（1936） ^[7]の結果は、デザルグ射影幾何学の相関が、基礎となるベクトル空間上の非退化セスクイリニア形式に対応することを示しています。^[5]セスクイリニア形式φが非退化であるとは、 V内のすべてのyに対してφ ( x、y ) = 0 である場合（および）、x = 0である場合に限ります。

この命題の完全な一般性を達成するために、またすべてのデザルグ射影幾何学は分割環によって座標付けできるため、ラインホルト・ベーアはセスクイリニア形式の定義を分割環に拡張し、ベクトル空間をR加群に置き換えることを求めました。^[8]（幾何学の文献では、これらは今でもスキュー体上の左ベクトル空間または右ベクトル空間と呼ばれています。）^[9]

上記のセクションを歪体に対して特殊化したのは、射影幾何学への応用の結果であり、セスク線形形式の性質に固有のものではありません。乗算の非可換性を考慮するために必要なわずかな変更のみが、任意の体バージョンの定義を任意の環に一般化するために必要です。

R を環、VをR加群、σ をRの反自己同型とする。

φ  : V × V → Rの写像がσセスクイリニアであるのは、

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

すべてのx、y、z、w はVに含まれ、すべてのc、d はRに含まれます。

φ ( x , y ) = 0のとき、要素x は、セクスティリニア形式φ ( x ⊥ yと表記)に関して別の要素yと直交します。この関係は対称である必要はなく、つまり、x ⊥ y はy ⊥ x を意味しません。

セスクイリニア形式φ  : V × V → Rは、 φ ( x , y ) = 0 がVのすべてのx、yに対してφ ( y , x ) = 0を意味するとき、反射的(または正規対称的)です。

セスクイリニア形式φ  : V × V → Rがエルミートであるとは、 σが存在して[ ^{10] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

V内のすべてのx、yに対して。エルミート形式は必ず反射的であり、それがゼロでない場合、関連する反自己同型σは反転（つまり、位数 2） になります。

反自己同型σに対して、 Rのすべてのs、tに対してσ ( st ) = σ ( t ) σ ( s )が成り立つので、σ = idであれば、R は可換でなければならず、φ は双線型形式になります。特に、この場合、R が歪体であれば、R は体であり、V は双線型形式を持つベクトル空間です。

反自己同型σ  : R → R は同型 R → R ^opとみなすこともできる。ここでR ^{op は}Rの反対環で、同じ基底集合と同じ加法を持つが、その乗算演算 ( ∗ ) はa ∗ b = baで定義され、右側の積はRの積である。このことから、右 (左) R加群V は左 (右) R ^op加群V ^oに変換できることがわかる。^[11]したがって、セスクイリニア形式φ  : V × V → Rは双線型形式φ ′ : V × V ^o → Rとみなすことができる。

• *-指輪

• Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Band 44、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 3-540-61786-8、MR  0233275
• グルンバーグ、KW; ウィアー、AJ (1977)、線形幾何学(第 2 版)、Springer、ISBN 0-387-90227-9
• ジェイコブソン、ネイサン J. (2009) [1985]、Basic Algebra I (第 2 版)、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1

• 「セスクイリニア形式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]