準等角写像

数学の複素解析において、準等角写像は、Grötzsch (1928) によって導入され、Ahlfors (1935) によって命名された、平面領域間の(弱微分可能な)同相写像であり、一階では小円を離心率が制限された小楕円に変換します。

直感的に、f  : D  →  D ′ を平面上の開集合間の向きを保存する同相写像とします。 fが連続的に微分可能であれば、すべての点でfの導関数が円をKで囲まれた離心率を持つ楕円に写像する場合、 f はK準共形です。

f  : D  →  D ′と仮定する。ここでDとD ′ はC内の2つの領域である。 fの必要な滑らかさに応じて、さまざまな同等の定義が存在する。fが連続 偏微分を持つと仮定すると、ベルトラミ方程式を満たす限り、f は準共形である。

を満たす複素数値ルベーグ可測量μに対してである（Bers 1977）。この式は幾何学的解釈が可能である。Dに計量テンソルを付与する。${\displaystyle \sup |\mu |<1}$

${\displaystyle ds^{2}=\オメガ (z)^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},}$

ここで Ω( z ) > 0 である。すると、f が( 1 ) を満たすのは、それがこの計量を備えたDから標準ユークリッド計量を備えた領域D ′ への共形変換である場合に限る。このとき、関数f はμ 共形と呼ばれる。より一般的には、 fの連続微分可能性は、f がL ² ( D )に含まれる一次分布導関数のソボレフ空間 W ^1,2 ( D )内にあるという、より弱い条件に置き換えることができる。この場合、f は( 1 )の弱解であることが要求される。 μ がほぼどこでもゼロである場合、 ( 1 )の弱解であるW ^1,2 ( D )内の任意の同相写像は共形である。

補助計量に頼らずに、通常のユークリッド計量のfによる引き戻しの効果を考えてみましょう。その結果得られる計量は次のように表されます。

${\displaystyle \left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}}$

これは、背景ユークリッド計量に対して、固有値${\displaystyle dzd{\bar {z}}}$

${\displaystyle (1+|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}},\qquad (1-|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}}.}$

固有値は、接平面内の単位円 に沿って引き戻すことによって得られる楕円の長軸と短軸の二乗の長さをそれぞれ表します。

したがって、点zにおけるfの膨張は次のように定義される。

${\displaystyle K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}。$

K ( z )の（本質的な）上限は次のように与えられる 。

${\displaystyle K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{ \infty }}}}$

これはfの拡大と呼ばれます 。

極値長の概念に基づく定義は以下のとおりです。D内の曲線の集合Γごとに、Γの極値長が{ f  o γ : γ ∈  Γ } の極値長のK倍以下になるような有限のKが存在する場合、f はK準等角です。

f が何らかの有限のKに対してK準共形である場合、f は準共形です。

K > 1の場合、写像x + iy ↦ Kx + iyとx + iy ↦ x + iKyは両方とも準等角写像であり、一定の膨張Kを持ちます。

s > −1の場合、写像は準共形（ここでzは複素数）であり、定数膨張を持ちます。s ≠ 0の場合、これは滑らかではない準共形同相写像の例です。s = 0 の場合、これは単なる恒等写像です。 ${\displaystyle z\mapsto z\,|z|^{s}}$${\displaystyle \max(1+s,{\frac {1}{1+s}})}$

同相写像は、それが等角写像である場合に限り、1-準等角写像である。したがって、恒等写像は常に 1-準等角写像である。f  : D → D ′ がK-準等角写像であり、g  : D ′ → D '' がK ′-準等角写像である場合、g  o  fはKK ′-準等角写像である。 K-準等角同相写像の逆はK-準等角写像である。 1-準等角写像の集合は、合成に関して群を形成する。

3 つの異なる点を 3 つの与えられた点に写像する複素平面から複素平面自体への K 準等角写像の空間はコンパクトです。

2 次元における準等角写像の理論で中心的な重要性を持つのは、ラース・アルフォースとリップマン・バースによって証明された可測リーマン写像定理です。この定理は、リーマン写像定理を等角写像から準等角写像へと一般化したもので、次のように述べられます。D はCと等しくないC内の単連結領域であり、 μ : D → Cはルベーグ可測で を満たすものとします。このとき、 Dから単位円板への準等角写像fが存在し、これはソボレフ空間W ^1,2 ( D )内にあり、分布の意味で対応するベルトラミ方程式 ( 1 )を満たします。リーマンの写像定理と同様に、このf は3 つの実パラメータまで一意です。 ${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

最近、準共形幾何学は、応用数学、コンピューター ビジョン、医療画像などのさまざまな分野から注目を集めています。準共形理論を離散設定に拡張する計算準共形幾何学が開発され、医療画像解析、コンピューター ビジョン、グラフィックスのさまざまな重要な用途が見つかりました。

• 等温座標
• 準正則マップ
• 擬似解析関数
• タイヒミュラー空間
• ティソの指示線

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