測定可能なリーマン写像定理

数学において、可測リーマン写像定理は、1960年にラース・アルフォースとリップマン・バースが複素解析と幾何関数論で証明した定理である。その名前に反して、これはリーマン写像定理を直接一般化したものではなく、準等角写像とベルトラミ方程式の解に関する結果である。この結果は、1938年のチャールズ・モーリーによる準線型楕円偏微分方程式に関する以前の結果によって予示されていた。

アルフォースとバースの定理は、μがC上の有界測定可能関数で、を満たす場合、ベルトラミ方程式の 唯一の解fが存在することを述べています。${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

${\displaystyle \partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z)}$

ここでf は、点 0、1、∞ を固定したCの準等角同相写像です。 C を単位円 Dに置き換えても、同様の結果が得られます。彼らの証明には、特異積分演算子であるBeurling 変換が使用されました。

• アルフォース、ラース; ベルス、リップマン (1960)、「変数計量に対するリーマンの写像定理」、数学年報、72 (2): 385–404、doi :10.2307/1970141、JSTOR  1970141
• アルフォース、ラース V. (1966)、準等角写像に関する講義、ヴァン・ノストランド
• アスタラ、カリ;イワニエツ、タデウシュ;マーティン、ガヴェン(2009)、「楕円偏微分方程式と平面における準共形写像」、プリンストン数学シリーズ、第 48 巻、プリンストン大学出版局、pp. 161–172、ISBN 978-0-691-13777-3
• カールソン、L. Gamelin、TDW (1993)、複雑力学、Universitext: Tracts in Mathematics、Springer-Verlag、ISBN 0-387-97942-5
• モリー、チャールズ B. ジュニア(1938)、「準線形楕円偏微分方程式の解について」、アメリカ数学会誌、43 (1): 126–166、doi : 10.2307/1989904、JFM  62.0565.02、JSTOR  1989904、MR  1501936、Zbl  0018.40501
• ザケリ、サイード、ゼイナリアン、マフムード (1996)、「楕円が円のように見えるとき: 測定可能なリーマン写像定理」(PDF)、ナシュル・エ・リアジ、8 : 5–14