潮汐理論

地中海周辺の文明では、潮汐は比較的注目されてこなかった。なぜなら、地中海の潮汐は比較的小さく、潮汐が発生する地域も不安定だからである。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}しかし、潮汐の動きを呼吸や血流に例えるものから、渦潮や河川の循環に関係するものまで、多くの理論が提唱された。 ^{[ 2 ]}同様の「呼吸する大地」という考えは、一部のアジアの思想家によっても検討された。^{[ 4 ]}プラトンは、潮汐は海底洞窟に出入りする水によって引き起こされると信じていたと伝えられている。^{[ 1 ]}マッルスのクラテスは潮汐を「海の反作用（ἀντισπασμός）」に、コルキュラのアポロドロスは「大洋からの逆流」に帰した。^{[ 5 ]}紀元前 400 ～ 300 年頃の古代インドのプラーナ文献には、月の光による熱膨張のために海が上昇したり下降したりすると記されている。 ^{[ a ] [ 6 ]}オーストラリア北部準州アーネムランド北東部のヨルング族は、月と潮汐の関連性を認識しており、神話的に月が水で満たされ、再び空になることに起因していると考えていた。^{[ 7 ] [ 8 ]}

最終的に、月（と太陽）と潮汐の関連性はギリシャ人に知られるようになったが、その発見の正確な日付は不明である。紀元前325年のマッシリアのピュテアスや紀元77年の大プリニウスの博物誌などの文献にその言及がある。潮汐の周期と月と太陽の動きとの関連性は知られていたが、それらを結びつける正確なメカニズムは不明であった。^{[ 2 ]}古典学者のトーマス・リトル・ヒースは、ピュテアスとポセイドニオスの両方が潮汐を月と結びつけており、「前者は直接、後者は風の発生を通して」であると主張した。^{[ 5 ]}セネカは『摂理について』の中で、潮汐の周期的な動きは月の球によって制御されていると述べている。^{[ 9 ]}エラトステネス（紀元前 3 世紀）とポセイドニオス（紀元前 1 世紀）はともに潮汐と月の満ち欠けの関係について詳細な記述を残しており、特にポセイドニオスはスペイン沿岸の海を長期間にわたって観測したが、彼らの著作はほとんど残っていない。プトレマイオスの『テトラビブロス』では、月が潮汐に及ぼす影響が占星術の現実性の証拠として言及されている。^{[ 1 ] [ 10 ]}セレウキアのセレウコスは紀元前 150 年頃、潮汐は月によって引き起こされるという理論を、彼の地動説モデルの一部として提唱したと考えられている。^{[ 11 ] [ 12 ]}

アリストテレスは、他の資料における彼の信念についての議論から判断すると、潮汐は太陽の熱によって引き起こされる風によって生じると信じており、月が潮汐を引き起こすという説を否定していたと考えられている。外典の伝説では、彼は潮汐を完全に理解できなかったことに苛立ち、自殺したとされている。^{[ 1 ]}ヘラクレイデスもまた、「太陽が風を起こし、これらの風が吹くと満潮を引き起こし、風が止むと干潮を引き起こす」と主張した。^{[5] ディカイアルコスもまた、「潮汐は太陽の位置に応じた太陽の直接的な作用によるものだ」と主張した。[ 5 ]}フィロストラトス^{は、テュアナ}のアポロニオスの生涯の第5巻（紀元217～238年頃）で潮汐について論じている。彼は潮の満ち引き​​と月の満ち欠けの相関関係を漠然と認識していたが、それを精霊が洞窟に水を出し入れしているせいだと考え、死者の霊は月の特定の位相では先に進めないという伝説と結びつけた。^{[ b ]}

ベーダ尊者は『時間の計算』の中で潮汐について論じ、1日に2回起こる潮汐のタイミングは月と関係があり、大潮と小潮の月の周期も月の位置と関係があることを示しています。さらに彼は、同じ海岸線でも潮汐の時刻は異なり、水の動きによってある場所では干潮になり、別の場所では満潮になることを指摘しています。^{[ 13 ]}しかし、月がどのようにして潮汐を生み出すのかという問題については、彼は何の進展も示していません。^{[ 2 ]}

中世の潮汐予測の経験則では、月の動きから「どの月が満潮を引き起こすかを知ることができる」と言われていた。^{[ 14 ]}ダンテは『神曲』の中で、潮汐に対する月の影響について言及している。^{[ 15 ] [ 1 ]}

中世ヨーロッパの潮汐に関する理解は、12 世紀からラテン語に翻訳されて入手可能になったイスラム天文学者の著作に基づいていることが多かった。 ^{[ 16 ]}アブー・マアシャル・アル＝バルヒーは、著書『天文学入門』の中で、干潮と満潮は月によって引き起こされると説いた。^{[ 16 ]}アブー・マアシャルは、風と太陽に対する月の満ち欠けが潮汐に及ぼす影響について論じた。^{[ 16 ]} 12 世紀には、アル＝ビトルージが、潮汐は天体の一般的な循環によって引き起こされるという考えを提唱した。^{[ 16 ]}中世アラビアの占星術師は、月が潮汐に及ぼす影響を占星術の現実性の証拠として頻繁に引用し、このテーマに関する彼らの論文のいくつかは西ヨーロッパに影響を与えた。^{[ 10 ] [ 1 ]}月光が海底を加熱したことが影響の原因だと理論づける人もいた。^{[ 3 ]}

シモン・ステヴィンは、 1608年に著した『干潮の理論』（De spiegheling der Ebbenvloet）の中で、干潮と満潮について当時まだ存在していた多くの誤解を否定しています。ステヴィンは、月の引力が潮汐の原因であるという考えを擁護し、干潮、満潮、大潮、小潮について明確な言葉で書き、さらなる研究が必要であることを強調しています。^{[ 17 ] [ 18 ]} 1609年、ヨハネス・ケプラーは、月の引力が潮汐を引き起こすと正しく示唆し、^{[ c ]}彼はそれを磁気引力と比較しました^{[ 20 ] [ 2 ] [ 21 ] [ 22 ]}。彼の議論は、古代の観察と相関関係に基づいています。

1616年、ガリレオ・ガリレイは『潮汐論』を著した。^{[ 23 ]}彼は潮汐の月説を強く嘲笑的に否定し、^{[ 21 ] [ 2 ]}地球の自転と太陽の周りの公転の結果として潮汐を説明しようと試みた。彼は、海は大きな盆地の水のように動くと信じていた。盆地が動くと水も動く、と。^{[ 24 ]}しかし、同時代の人々は、この説明が観測結果と一致しない予測をしていることに気づいた。^{[ 25 ]}

ルネ・デカルトは、潮汐（惑星の運動などとともに）はエーテルの渦によって引き起こされると理論づけたが、これはケプラーの相互引力による重力理論とは無関係であった。この理論は非常に影響力があり、17世紀を通じて、特にフランスでは、デカルトの多くの追随者がこの理論を詳述した。^{[ 26 ]}しかし、デカルトとその追随者は月の影響を認め、エーテルを介して月からの圧力波が相関関係の原因であると推測した。^{[ 3 ] [ 27 ] [ 4 ] [ 28 ]}

平衡潮汐理論

ニュートンは『プリンキピア』の中で潮汐力の正しい説明を提供しており、これは均一な海洋に覆われた惑星の潮汐を説明するために使用できるが、大陸の分布や海洋の深度は考慮されていない。^{[ 29 ]}

この理論の形式は平衡理論として知られています。平衡理論では、次の 3 つの単純化が行われます。1) 地球の陸地を無視する、2) 水の粘性を無視して、水が重力に瞬時に反応できるようにする、3) 地球と水の間の摩擦を無視する。地球と月が一緒に回転する座標系では、地球と月の間の距離は一定です。つまり、両者は平衡状態にあります。この平衡は、月の重力と回転による遠心力のバランスとして説明できます。地球の中心では、力は等しく反対方向です。^{[ 30 ]}他の点では、力は正確にはバランスしておらず、残りの力は潮汐発生力と呼ばれます。地球の表面で月に最も近い点では、重力がごくわずかに強く、最も遠い点では、遠心力がわずかに強くなります。地球と月の線から離れた極では、小さな正味の力が地球に向かっています。海水はこれらの力の影響をほとんど受けません。極と赤道の間では、小さな力の成分が地球の表面に水平で赤道に向かっています。この小さな力に抵抗する力はありません。海水はこの力に応じて流れ、極から流れ出て赤道付近に集まります。^{[ 31 ] : 10 [ 32 ]}その結果、地球と月の軸に沿って二重の潮汐の膨らみができ、月に近い側の方がやや大きくなります。地球が自転すると、地球上のさまざまな点がこれらの膨らみを通過し、おおよそ毎日の二重の潮汐を説明します。海水と固体の地球の両方がこれらの引力の差を経験しますが、硬い地球は変形に抵抗してほぼ球形を維持し、流体は不均衡に合わせて再分配され、膨らみを形成します。^{[ 33 ] [ 34 ]} 平衡潮汐は、陸地のない地球を仮定した理想化された潮汐です。^{[ 35 ]}

ラプラスの潮汐方程式

A.月の重力ポテンシャル：これは、北半球上空から見た、月が 北緯30度（または 南緯30度）の真上にある状態を示しています。ただし、月は赤道から北に約28.6度以上離れることはないことに注意してください。

B.この図は、 Aの図から180°の角度から見た同じ可能性を示しています。北半球の上空から見た図です。赤が上、青が下です。

1776年、ラプラスは、順圧二次元シート流として記述される潮汐流に関する一連の線形偏微分方程式を定式化した。コリオリ効果と重力による横方向の力が考慮されている。ラプラスは流体力学方程式を簡略化することでこれらの方程式を得たが、ラグランジュ方程式を介してエネルギー積分からも導出できる。

平均厚さDの流体シートの場合、垂直潮位ζおよび水平速度成分uとv (それぞれ緯度φ方向と経度λ方向) は、ラプラスの潮汐方程式を満たします。^{[ 48 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}&+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}\left[{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(uD)+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(vD\cos(\varphi )\right)\right]=0,\\[2ex]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-v\,2\Omega \sin(\varphi )+{\frac {1}{a\cos(\varphi )}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left(g\zeta +U\right)=0,\quad {\text{and}}\\[2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u\,2\Omega \sin(\varphi )+{\frac {1}{a}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\left(g\zeta +U\right)=0,\end{aligned}}}$

ここで、Ωは惑星の自転角周波数、 gは平均海洋表面における惑星の重力加速度、 aは惑星の半径、Uは外部の重力潮汐強制力ポテンシャルである。

ウィリアム・トムソン（ケルビン卿）は、回転を用いてラプラスの運動量方程式を書き換え、渦度の式を導き出した。特定の条件下では、この式はさらに渦度保存則として書き換えることができる。

ラプラスの理論の進歩は著しいものでしたが、それでも予測は近似的なものにとどまっていました。この状況は1860年代に変化しました。ケルビン卿がフーリエ解析を潮汐運動の調和解析として応用し、潮汐現象の局所的な状況をより詳細に考慮に入れたのです。トムソンのこの分野における研究は、当時の月理論を応用したジョージ・ダーウィンによってさらに発展・拡張されました。潮汐調和成分を表すダーウィンの記号は今でも使われており、例えば、M：月/月周期、S：太陽/太陽周期、K：月太陽/月太陽周期などがある。

ダーウィンの潮汐発生力の調和展開は、後にEWブラウンの月理論^{[ 49 ]}を適用したATドゥードソンによって改良され、潮汐発生ポテンシャル（TGP）を調和形式で展開し、388の潮汐周波数を区別しました^{[ 50 ]} 。 ドゥードソンの研究は1921年に実施され、発表されました^{[ 51 ]。}ドゥードソンは、潮汐発生ポテンシャルのさまざまな調和成分を指定するための実用的なシステムであるドゥードソン数を考案しました。このシステムは現在でも使用されています。

20世紀半ば以降、さらなる分析により、ドゥードソンの388よりもはるかに多くの項が生成されました。約62の構成要素は、海洋潮汐予測に使用できる可能性があると検討するのに十分な大きさですが、場合によっては、それよりもはるかに少ない数で潮汐を実用的な精度で予測できます。調和成分を使用した潮汐予測の計算は骨の折れる作業であり、1870年代から1960年代頃までは、アナログコンピュータの特殊用途である機械式潮汐予測機を使用して実行されていました。最近では、行列反転法を使用するデジタルコンピュータが、潮位計の記録から直接潮汐調和成分を決定するために使用されています。^{[ 52 ]}

潮汐成分は、その異なる不等式な周波数のため、組み合わさって無限に変化する集合体を形成します。この効果は、かつて潮汐予測機で成分が機械的に組み合わされていた様子を示すアメリカ数学会のアニメーションで視覚化されています。潮汐成分の振幅（ピーク間振幅の半分）は、以下の6つの例の場所について示されています。 イーストポート、メイン州（ME）^{[ 53 ]}ビロクシ、ミシシッピ州（MS）、サンフアン、プエルトリコ（PR）、コディアック、アラスカ州（AK）、サンフランシスコ、カリフォルニア州（CA）、ヒロ、ハワイ州（HI）。

潮汐発生ポテンシャルのさまざまな高調波成分を指定するために、ドゥードソンは、 6つのドゥードソン引数またはドゥードソン変数に基づくドゥードソン数と呼ばれる実用的なシステムを考案しました。これは現在でも使用されています。潮汐周波数成分の数は多いですが、それぞれが正または負の小さな整数倍を使用した6つの周波数の特定の線形結合に対応します。原理的には、これらの基本的な角度引数はさまざまな方法で指定できますが、ドゥードソンが選択した6つの「ドゥードソン引数」は潮汐研究で広く使用されています。これらのドゥードソン引数の観点から、各潮汐周波数は、6つの引数のそれぞれに対する小さな整数倍の和として指定できます。結果として得られる6つの小さな整数乗数は、該当する潮汐引数の周波数を効果的に符号化しており、これらがドゥードソン数です。実際には、表記で負の数を避けるために、最初のものを除くすべてが通常+5だけ上方バイアスされます。 （バイアス倍率が9を超える場合、システムは10に対してX、11に対してEを採用する。）^{[ 54 ]}

Doodsonの引数は、頻度の高い順に次のように指定されます。^{[ 54 ]}

${\displaystyle \beta _{1}=\tau =(\theta _{M}+\pi -s)}$は平均月時であり、グリニッジ標準時の平均月角に12時間を加えたものです。

${\displaystyle \beta _{2}=s=(F+\Omega )}$月の平均経度です。

${\displaystyle \beta _{3}=h=(sD)}$は太陽の平均経度です。

${\displaystyle \beta _{4}=p=(s-\ell )}$月の平均近地点の経度です。

${\displaystyle \beta _{5}=N'=(-\オメガ )}$は、黄道上の月の平均昇交点の経度の負の値です。

$\displaystyle \beta _{6}=p_{\ell }}$または${\displaystyle p_{s}=(sD-\ell ')}$これは太陽の平均近地点の経度です。

これらの表現では、記号は${\displaystyle \ell }$、${\displaystyle \ell '}$、${\displaystyle F}$そして${\displaystyle D}$代替的な基本角度引数のセット（通常は現代の月理論で好んで使用される）を参照する。

${\displaystyle \ell }$ 月の平均近点角（月の近地点からの距離）です。

${\displaystyle \ell '}$は太陽の平均近点角（太陽の近地点からの距離）です。

${\displaystyle F}$ 月の平均緯度引数（月の昇交点からの距離）です。

${\displaystyle D}$ 月の平均離角（太陽からの距離）のことです。

これらの組み合わせに基づいて、複数の補助変数を定義することが可能です。

このシステムでは、各潮汐成分の周波数は、そのドゥードソン数によって識別できます。最も強い潮汐成分「M ₂」は、1太陰日あたり2サイクルの周波数を持ち、そのドゥードソン数は通常255.555と表記されます。これは、その周波数が最初のドゥードソン引数の2倍と、他のすべての引数の0倍で構成されていることを意味します。2番目に強い潮汐成分S ₂は太陽の影響を受け、そのドゥードソン数は273.555です。これは、その周波数が最初のドゥードソン引数の2倍、2番目の引数の+2倍、3番目の引数の-2倍、および他の3つの引数のそれぞれ0倍で構成されていることを意味します。^{[ 55 ]} これは、平均太陽時+12時間の角度相当に集約されます。これら2つの最も強い成分周波数は単純な引数を持ち、ドゥードソンシステムは不必要に複雑に見えるかもしれませんが、他の数百の成分周波数はそれぞれ同様の方法で簡単に指定でき、全体としてエンコーディングの有用性を示しています。