円の接線

ユークリッド平面幾何学では、円の接線とは、円にちょうど 1点で接し、円の内部に入ることのない線のことです。円の接線はいくつかの定理の対象となっており、多くの幾何学的構成や証明で重要な役割を果たしています。点Pにおける円の接線はその点の半径に垂直であるため、接線に関する定理には、放射状線や直交円が含まれることがよくあります。

円Cの接線t は、円と 1 点Tで交差します。比較すると、割線は円と 2 点で交差しますが、別の線は円とまったく交差しない場合があります。接線のこの特性は、拡大縮小、回転、平行移動、反転、地図投影などの多くの幾何学的変換を行っても保持されます。専門用語で言えば、これらの変換によって、線や円が変形したとしても、接線と円の 入射構造は変化しません。

円の半径は、円周上の端点を通る接線に対して垂直です。逆に、同じ端点を通る半径に対する垂線は接線です。結果として得られる円と接線の幾何学的図形は、半径の軸を中心に鏡映対称性を持ちます。

円内の点を通る接線は引けません。そのような線は必ず割線になるからです。しかし、円の外側の点Pから円に2 本の接線を引くことはできます。円の幾何学的図形と 2 本の接線も同様に、円の中心点OとPを結ぶ放射軸に関して鏡映対称性を持ちます。したがって、 Pから2 つの接点までの線分の長さは等しくなります。割線-接線の定理により、この接線の長さの 2 乗は、円C内の点 P の累乗に等しくなります。この累乗は、 Pから、円とP を通る割線との任意の 2 つの交点までの距離の積に等しくなります。

接線tと接点T は互いに共役な関係にあり、これは極点と極線の概念に一般化されています。円の外側の点Pと、その 2 つの接点を結ぶ割線 の間にも、同じ相互関係が存在します。

点P が中心Oを持つ円の外部にあり、点 Pからの接線が点Tと点Sで円に接する場合、∠ TPSと∠ TOSは補線です（合計は 180° になります）。

外点Pの接点Tから弦 TMを引き、∠PTM≤90 °の場合、 ∠PTM = ½∠TOMとなります。

直交座標における円の方程式が中心を( a , b )とする_と、円の接線( x1 , y1 )は直交座標方程式を持つ _。${\displaystyle (xa)^{2}+(yb)^{2}=r^{2}}$

$${\displaystyle (x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)=0}$$

これは、円の暗黙の微分を取ることで証明できます。円の方程式が で、 ( x ₁ , y ₁ )における接線の傾きを求めているとします。まず、 xに関して暗黙の微分を取ります。 ${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2},}$${\displaystyle (x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {}{(}}x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\[4pt]2(x-a)+2(y-b){\frac {dy}{dx}}&=0\\[2pt]{\frac {dy}{dx}}&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\end{aligned}}}$$

接線の傾きがわかったので、その傾きと接点の座標を直線方程式y = kx + mに代入できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}x+y_{1}+x_{1}{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\y-y_{1}&=(x_{1}-x){\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}\\[2pt](y-y_{1})(y_{1}-b)&=-(x-x_{1})(x_{1}-a)\\[8pt](x-x_{1})(x_{1}-a)+(y-y_{1})(y_{1}-b)&=0\end{aligned}}}$$

円周上の 点Tで円に接する線分t を描くのは比較的簡単です。

• 円の中心Oから放射状の点T を通る線aが引かれます。
• 線t はaに対する垂直線です。

タレスの定理は、円Cの外部の点Pへの接線を作成するために使用できます。

• 線分OPの中点を中心とし、直径OPを持つ円が描かれます。ここで、O は円Cの中心です。
• 円Cと新しい円の交点T ₁とT _{2 は}、次の議論により、P を通る線の接点です。

線分OT ₁とOT _{2 は}円Cの半径です。両方とも半円に内接しているので、線分PT ₁とPT ₂にそれぞれ垂直です。しかし、接線だけが放射状線に垂直です。したがって、PからT ₁とT ₂を通る2 本の線は円Cに接します。

定規のみを使用して円の外部の点Pへの接線を作成する別の方法:

• 与えられた点Pを通り、円と 2 回交差する 3 本の異なる線を描きます。
• A ₁、A ₂、B ₁、B ₂、C ₁、C ₂を 6 つの交点とし、同じ文字が同じ線に対応し、インデックス 1 が P に近い点に対応します。
• Dを線分A ₁ B ₂と線分A ₂ B ₁が交差する点とすると、
• 同様に、線分B ₁ C ₂とB ₂ C ₁についてもE が適用されます。
• DとE を通る線を引きます。
• この線は、 FとG の2 つの点で円と交わります。
• 接線は線分PFと線分PGである。^[1]

円の点を方程式で表すと、Pは両方の曲線上にあり、直線の法線ベクトルであるため、 Pにおける接線は方程式で表されます。接線は点でx軸と交差します。${\displaystyle P=(a,b)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$${\displaystyle ax+by=r^{2},}$${\displaystyle {\vec {OP}}=(a,b)^{T}}$${\displaystyle P_{0}=(x_{0},0)}$${\displaystyle ax_{0}=r^{2}.}$

逆に、点から始めると、 P _{0 を}通る 2 つの接線は、次の 2 つの点で円と交わります 。ベクトル形式で書く と、 次のようになります。${\displaystyle P_{0}=(x_{0},0),}$${\displaystyle P_{1/2}=(a,b_{\pm })}$$${\displaystyle a={\frac {r^{2}}{x_{0}}},\qquad b_{\pm }=\pm {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}=\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}.}$$$${\displaystyle {\binom {a}{b_{\pm }}}={\frac {r^{2}}{x_{0}}}{\binom {1}{0}}\pm {\frac {r}{x_{0}}}{\sqrt {x_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {0}{1}}\ .}$$

点がx軸上にない場合: ベクトル形式では、x _0を距離に置き換え、単位基底ベクトルを直交単位ベクトルに置き換えます。すると、点P _0を通る接線は、点で円に接します。 ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$${\textstyle d_{0}={\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}}$${\textstyle {\vec {e}}_{1}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}},\ {\vec {e}}_{2}={\frac {1}{d_{0}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$$${\displaystyle {\binom {x_{1/2}}{y_{1/2}}}={\frac {r^{2}}{d_{0}^{2}}}{\binom {x_{0}}{y_{0}}}\pm {\frac {r}{d_{0}^{2}}}{\sqrt {d_{0}^{2}-r^{2}}}{\binom {-y_{0}}{x_{0}}}.}$$

• d ₀ < rの場合、接線は存在しません。
• d ₀ = rの場合、点P ₀は円上にあり、方程式で示される接線は1つだけあります。${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y=r^{2}.}$
• d ₀ > rの場合、2つの接線があり、その式は次のようになります。${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},\ x_{2}x+y_{2}y=r^{2}.}$

円反転との関係：方程式は点の円反転を記述する${\displaystyle ax_{0}=r^{2}}$${\displaystyle (x_{0},0).}$

極と極性の関係：点の極は次式で表される。${\displaystyle (x_{0},0)}$${\displaystyle xx_{0}=r^{2}.}$

接線多角形とは、各辺が特定の円（内接円と呼ばれる）に接している多角形です。すべての三角形は接線多角形であり、任意の数の辺を持つすべての正多角形も接線多角形です。さらに、多角形の辺の数に応じて、同値でない接線多角形が無限に存在します。

接線四辺形 ABCDは、与えられた円Cに接する 4 つの直線の辺で構成された閉じた図形です。同様に、円C は四辺形ABCDに内接します。ピトーの定理により、このような四辺形の反対側の辺の和は等しくなります。つまり、

$${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.}$$

この結論は、四辺形の 4 つの頂点からの接線が等しいことから導かれます。接点をP (線分AB上)、Q (線分BC上)、R (線分CD上)、S (線分DA上) と表記します。ABCDの各点の対称接線は等しいです。 ただし、四辺形の各辺は、このような 2 つの接線で構成されています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {BP}}={\overline {BQ}}=b,&\quad {\overline {CQ}}={\overline {CR}}=c,\\{\overline {DR}}={\overline {DS}}=d,&\quad {\overline {AS}}={\overline {AP}}=a.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)\\={}&{\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)\end{aligned}}}$$

定理を証明する。

逆もまた真なりで、対辺の長さの合計が同じであるすべての四辺形に円を内接させることができます。^[2]

この定理とその逆定理にはさまざまな用途があります。たとえば、正方形でない限り長方形には内接円がないこと、また、すべての菱形には内接円があるが、一般的な平行四辺形には内接円がない ことがすぐにわかります。

2 つの円の場合、通常、両方に接する (複接) 4 本の異なる線分があります( 2 つの円が互いの外側にある場合 )。ただし、退化した場合には、複接線の数が 0 から 4 本までの範囲で任意になります。これらについては、後述します。これらのうち 2 本 (外部接線) の場合、円は線の同じ側にあります。他の 2 本 (内部接線) の場合、円は線の反対側にあります。外部接線は外部相似中心で交差し、内部接線は内部相似中心 で交差します。外部相似中心と内部相似中心はどちらも中心線 (2 つの円の中心を結ぶ線) 上にあり、小さい方の円の中心に近い位置にあります。つまり、内部中心は 2 つの円の間の線分にありますが、外部中心は 2 つの点の間ではなく、小さい方の円の中心の側の外側にあります。 2つの円の半径が等しい場合、4つの従接線は依然として存在しますが、外部接線は平行であり、アフィン平面には外部中心は存在しません。射影平面では、外部相似中心はこれらの線の傾きに対応する無限遠点にあります。 ^[3]

点( x ₃ , y ₃ )と点( x ₄ , y ₄ )を結ぶ赤い線は、 2 つの円の間の外接線です。点( x ₁ , y ₁ )、( x ₂ , y ₂ )が与えられている場合、点( x ₃ , y ₃ )、( x ₄ , y ₄ )は角度α の助けを借りて簡単に計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=x_{1}\pm r\sin \alpha \\y_{3}&=y_{1}\pm r\cos \alpha \\x_{4}&=x_{2}\pm R\sin \alpha \\y_{4}&=y_{2}\pm R\cos \alpha \\\end{aligned}}}$$

ここで、Rとrは2つの円の半径を表し、角度αは基本的な三角法を使用して計算できます。^{[4] [検証失敗–議論を参照]}でα = γ − βとなり 、atan2は2引数の逆正接です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-{\text{atan2}}\left({y_{2}-y_{1}},{x_{2}-x_{1}}\right)\\[2pt]\beta &=\pm \arcsin \left({\frac {R-r}{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$$

近い円と遠い円の中心O ₂とO _{1 の}間の距離と、2 つの円の 2 つの外接線が交差する点 (相似中心) S は、次のように相似性を使用して求めることができます。 ここで、近い円または遠い円O ₂とO ₁の中心からの距離を求める必要があるかどうかに応じて、r はr ₁またはr ₂になります。dは、 2 つの円の中心間の 距離O ₁ O _2です。$${\displaystyle {\frac {dr}{r_{1}-r_{2}}}}$$

内側の接線は、2 つの円の中心を結ぶ線分と交差する接線です。2 つの円が重なり合う場合には、内側の接線は定義されないことに注意してください。

双接線は、その記事で説明されているように相似中心を構築し、次に上記の方法のいずれかを使用して、一方の円に接する相似中心を通る接線を構築することによって構築できます。その結果得られる線は、もう一方の円にも接します。または、以下に説明するように、接線と接点をより直接的に構築することもできます。退化したケースではこれらの構築が機能しないことに注意してください。説明を簡素化するために、このセクションではこれについては説明しませんが、構築の形式は、極限の場合 (たとえば、1 つの点で接する 2 つの円) では機能します。

O ₁とO _{2 を2 つの円}C ₁とC ₂の中心とし、r 1 と r 2 をそれらの半径とします( _r 1 > _r 2 )。言い換える_と、円_C 1は₂つの円のうち大きい方として定義されます。外部接線と内部接線を作成するには、2 つの異なる方法を使用できます。

外部接線

半径r ₁ − r ₂の新しい円C _3が、 O ₁を中心として描かれます。上記の方法を使用して、この新しい円に接する 2 本の線がO ₂から描かれます。これらの線は、目的の接線と平行です。これは、円C ₁とC _{2 の}両方を一定量r _{2だけ縮小し、} C _{2 を}1 点に縮小する状況に対応するためです。中心O _1からC ₃の接点を通る2 本の放射状線を描くことができます。これらの線は、目的の接点でC ₁と交差します。目的の外部接線は、これらの接点でこれらの放射状線に垂直な線であり、上記のように作図できます。

内部接線

半径r ₁ + r ₂の新しい円C _3が、 O ₁ を中心として描かれます。上記の方法を使用して、この新しい円に接する 2 本の線がO _{2から描かれます。これらの線は、} C _{2 を}1 点まで縮小し、同時にC _{1 を}一定量r ₂だけ拡大する状況に対応するため、目的の接線と平行です。中心O _1からC ₃の接点を通る2 本の放射状線を描くことができます。これらの線は、目的の接点でC ₁と交差します。目的の内部接線は、これらの接点でこれらの放射状線に垂直な線であり、上記のように構築できます。

円の中心がc ₁ = ( x ₁ , y ₁ )とc ₂ = ( x ₂ , y ₂ )で、半径がそれぞれr ₁とr ₂であるとします。正規化された方程式で直線を表すと、双接線は 次の式を満たします。最初の値から 2 番目の値を引くことで( a , b , c ) を解くと、次の式 が得られます。 ここで 、 外接線は 、 内接線は です。 ${\displaystyle ax+by+c=0,}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}ax_{1}+by_{1}+c&=r_{1}\\ax_{2}+by_{2}+c&=r_{2}\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle a\Delta x+b\Delta y=\Delta r,\qquad (1)}$$$${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1},\quad \Delta y=y_{2}-y_{1}}$$$${\displaystyle \Delta r=r_{2}-r_{1}}$$$${\displaystyle \Delta r=r_{2}+r_{1}}$$

がc _1からc ₂までの距離である場合、で正規化し て方程式 (1) を簡略化し、次の連立方程式を得ることができます。 これらを解くと、2 つの外部接線に対する 2 つの解 ( k = ±1 ) が得られます。 幾何学的には、これは接線と中心線によって形成される角度を計算し、それを使用して中心線の方程式を回転させて接線の方程式を生成することに相当します。 角度は、(外部)相似中心、円の中心、および接点を頂点とする直角三角形の三角関数を計算することによって計算されます。斜辺は接線上にあり、半径は角度の反対側にあり、隣接する辺は中心線上にあります。 ${\textstyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$$${\displaystyle X={\frac {\Delta x}{d}},\quad Y={\frac {\Delta y}{d}},\quad R={\frac {\Delta r}{d}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}aX+bY&=R,\\a^{2}+b^{2}&=1;\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=RX-kY{\sqrt {1-R^{2}}}\\b&=RY+kX{\sqrt {1-R^{2}}}\\c&=r_{1}-(ax_{1}+by_{1})\end{aligned}}}$$

( X , Y )はc _1からc ₂を指す単位ベクトルであり、Rはcos θです。ここでθは中心線と接線の間の角度です。sin θは( θの符号に依存しますが、回転方向と同等です)、上記の式は回転行列を使用して( X , Y )を± θ回転させるものです。 ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-R^{2}}}}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}}$$

• k = 1 は、c _1からc ₂を見たときの円の右側の接線です。
• k = −1は、 c _2からc ₁を見たときの円の右側の接線です。

上記では、各円の半径が正であると仮定しています。r ₁が正でr ₂が負の場合、 c _{1 は}各線の左側に、c 2_は右側に位置し、2 つの接線は交差します。このようにして、4 つの解がすべて得られます。両方の半径の符号を切り替えると、k = 1とk = −1 が切り替わります。

一般に、中心がv ₁とv ₂、半径がr ₁とr ₂である 2 つの円に接する 4 本の直線の接点t ₁とt ₂は、次の連立方程式を解くことによって求められます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}}$$

これらの方程式は、半径に垂直な接線が平行であり、接点がそれぞれの円上にあることを表しています。 ${\displaystyle t_{2}-t_{1},}$

これらは 2 つの 2 次元ベクトル変数の 4 つの二次方程式であり、一般的な位置では 4 組の解が存在します。

2 つの異なる円は、構成に応じて 0 から 4 本の二重接線を持つことがあります。これらは、中心間の距離と半径によって分類できます。重複度で数えると (共通接線を 2 回数える)、0、2、または 4 本の二重接線があります。二重接線は、負の半径または 0 の半径を持つ円に一般化することもできます。退化したケースと重複度は、他の構成の極限の観点からも理解できます。たとえば、2 つの円がほぼ接触し、そのうちの 1 つを接触するように移動する極限、または半径が小さい円が半径が 0 の円に縮小する極限などです。

• 円が互いの外側にある場合（）、つまり一般的な位置である場合、4 つの従接線が存在します。${\displaystyle d>r_{1}+r_{2}}$
• これらが 1 点で外部的に接している場合 ( )、つまり外部接点が 1 つある場合、これらには 2 つの外部二重接線と 1 つの内部二重接線、つまり共通接線があります。この共通接線は、どちらの向き (方向) でも円を分離するため (1 つは左側、もう 1 つは右側)、重複度は 2 です。${\displaystyle d=r_{1}+r_{2}}$
• 円が 2 点で交差する場合 ( )、内部従属接線はなく、外部従属接線が 2 つあります (交差しているため分離できず、したがって内部従属接線はありません)。${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}}$
• 円が 1 点 ( ) で内部的に接している場合、つまり内部接点が 1 つある場合、内部複接線はなく、外部複接線、つまり共通接線が 1 つあり、上記のように重複度は 2 になります。${\displaystyle d=|r_{1}-r_{2}|}$
• 一方の円が完全にもう一方の円の内側にある場合 ( )、外側の円の接線は内側の円と交差しないため、それらの円には二重接線はありません。逆に、内側の円の接線は外側の円の割線になります。${\displaystyle d<|r_{1}-r_{2}|}$

最後に、2 つの円が同一である場合、円の接線は共通接線であり、したがって (外部) 二重接線であるため、円に相当する二重接線が存在します。

さらに、二重接線の概念は、負の半径を持つ円（点の軌跡は同じだ が、「裏返し」と見なされる）に拡張することができ、その場合、半径が反対の符号を持つ場合（一方の円が負の半径を持ち、もう一方が正の半径を持つ場合）、外部および内部の相似中心と外部二重接線と内部二重接線が入れ替わり、一方、半径が同じ符号を持つ場合（両方とも正の半径または両方とも負の半径）、「外部」と「内部」は通常の意味と同じです（一方の符号を切り替えるとそれらが切り替わり、両方を切り替えると元に戻ります）。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},}$

二重接線は、円の 1 つまたは両方が半径 0 のときにも定義できます。この場合、半径 0 の円は二重点であるため、その円を通過する線は重複度 2 でその点と交差し、「接線」となります。一方の円の半径が 0 の場合、二重接線は単にその円に接し、その点を通過する線であり、重複度 2 としてカウントされます。両方の円の半径が 0 の場合、二重接線はそれらの円によって定義される線であり、重複度 4 としてカウントされます。

これらの退化したケースでも、外部中心と内部相似中心は一般にまだ存在することに注意してください (半径が等しい場合、外部中心は無限大にあります)。ただし、円が一致する場合は外部中心は定義されず、両方の円の半径が 0 の場合は内部中心は定義されません。

内部接線と外部接線は、ベルト問題 を解く際に役立ちます。ベルト問題とは、2 つの滑車にぴったりと収まるベルトまたはロープの長さを計算することです。ベルトを厚さが無視できる数学的な線と見なし、両方の滑車がまったく同じ平面にあると仮定すると、問題は、関連する接線セグメントの長さと、ベルトによって囲まれる円弧の長さを合計することに変わります。ベルトが車輪に交差するように巻き付けられている場合、内部接線セグメントが関係します。逆に、ベルトが滑車の外側に巻き付けられている場合は、外部接線セグメントが関係します。この場合は、滑車問題と呼ばれることもあります。

C ₁、C ₂、C ₃で示される 3 つの円には、3 組の円 ( C ₁ C ₂、C ₂ C ₃、C ₁ C ₃ ) があります。各円の組には 2 つの相似中心があるため、相似中心は全部で6 つあります。ガスパール・モンジュは19 世紀初頭に、これらの 6 つの点が 4 本の直線上にあり、各直線には 3 つの同一直線上の点があることを示しました。

アポロニウスの問題の多くの特殊なケースでは、1 つ以上の直線に接する円を見つけます。これらのうち最も単純なのは、3 本の指定された直線に接する円を描くことです ( LLL問題)。この問題を解くには、そのような円の中心は、任意の 2 本の直線の角の二等分線上になければなりません。2 本の直線の交点ごとに、角を二等分する線が 2 本あります。これらの角の二等分線の交点が、解の円の中心となります。一般に、そのような円は 4 つあり、3 本の直線の交点によって形成される三角形の内接円と、3 つの内接円です。

一般的なアポロニウスの問題は、1 つの円と 2 本の平行線 ( LLC特殊ケースの特殊ケース) に接する円というより単純な問題に変換できます。これを実現するには、 3 つの与えられた円のうち 2 つを、ちょうど接触する、つまり接するまで拡大縮小するだけで十分です。適切な半径の円に関して接点を反転すると、接触している 2 つの与えられた円が 2 本の平行線に、3 番目の与えられた円が別の円に変換されます。したがって、解は、変換された 3 番目の円に接触するまで、2 つの平行線の間に一定半径の円をスライドさせることで見つけることができます。再度反転すると、元の問題に対応する解が生成されます。

1 つまたは複数の円に対する接線の概念は、いくつかの方法で一般化できます。まず、接点と接線の間の共役関係は、極点と極線に一般化できます。この場合、極点は円の円周上だけでなく、どこにでも存在できます。次に、2 つの円の和は、4 次平面曲線の特殊な (簡約可能な) ケースであり、外部接線と内部接線はこの 4 次曲線の二重接線です。一般的な 4 次曲線には 28 個の二重接線があります。

3番目の一般化では、接線ではなく接円を考慮します。接線は無限半径の接円とみなすことができます。特に、2つの円の外部接線は、両方の円に内部または外部接する円族の極限ケースであり、内部接線は、2つの円の1つに内部接し、もう1つに外部接する円族の極限ケースです。^[5]

メビウス幾何学または反転幾何学では、直線は「無限遠」の点を通る円としてみなされ、任意の直線と任意の円に対して、一方を他方にマッピングするメビウス変換が存在します。メビウス幾何学では、直線と円の接線は、2 つの円の接線の特殊なケースになります。この等価性は、リー球面幾何学でさらに拡張されます。

半径と接線は円の点で垂直で、単位双曲線の点で双曲直交です。単位双曲線の半径ベクトルによるパラメトリック表現は、p ( a ) = (cosh a , sinh a )です。p ( a )の導関数は、 p ( a )での接線の方向を指し、です。 半径と接線は、p ( a )と⁠ ⁠が単位双曲線の漸近線y = xで互いに反射しているため、 aで双曲直交です。分割複素数として解釈すると( jj = +1 )、2 つの数は次の式を満たします。${\displaystyle {\tfrac {dp}{da}}=(\sinh a,\cosh a).}$${\displaystyle {\tfrac {dp}{da}}}$${\displaystyle jp(a)={\tfrac {dp}{da}}.}$

• Weisstein、Eric W.「1 つの円の接線」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「2 つの円の接線」。MathWorld。