縮退（数学）

数学において、退化ケースとは、あるクラスの他のオブジェクトとは質的に異なる（そして通常はより単純である）ように見えるオブジェクトのクラスの極限ケースである。 ^[1]「退化」とは、退化ケースとなる条件である。^[2]

複合オブジェクトや構造化オブジェクトの多くのクラスの定義には、暗黙的に不等式が含まれることがよくあります。たとえば、三角形の角度と辺の長さは正であると想定されています。これらの不等式の 1 つまたは複数が等式になる極限ケースは退化です。三角形の場合、少なくとも 1 つの辺の長さまたは角度が 0 であれば、退化した三角形になります。つまり、それは「線分」になります。^[3]

多くの場合、退化ケースは、オブジェクト（またはその一部の）の通常の次元または濃度に変化が生じる例外的なケースです。たとえば、三角形は次元 2 のオブジェクトであり、退化した三角形は直線に含まれ、^[3]次元が 1 になります。これは、円の場合に似ています。円の次元は 2 から 0 に縮小し、点に退化します。^[1]別の例として、パラメータに依存する方程式系の解集合は、一般に固定された濃度と次元を持ちますが、例外的な値に対しては濃度や次元が異なる場合があり、これを退化ケースと呼びます。このような退化したケースでは、解集合は退化していると言われます。

複合オブジェクトの一部のクラスでは、退化のケースは、具体的に研究されているプロパティに依存します。特に、オブジェクトのクラスは、方程式のシステムによって定義または特徴付けられることがよくあります。ほとんどのシナリオでは、特定のオブジェクトのクラスは、いくつかの異なる方程式のシステムによって定義される可能性があり、これらの異なる方程式のシステムによって、同じ非退化のケースが特徴付けられながら、異なる退化のケースが発生する可能性があります。この概念が広く使用され、特定の状況ごとに（必要な場合は）定義されているにもかかわらず、退化の一般的な定義がないのは、このためである可能性があります。

したがって、退化ケースは、それを非ジェネリック、つまり特別なケースにする特別な特徴を持っています。しかし、すべての非ジェネリックまたは特別なケースが退化しているわけではありません。たとえば、直角三角形、二等辺三角形、正三角形は、非ジェネリックかつ非退化です。実際、退化ケースは、オブジェクト内または何らかの配置空間内の特異点に対応することがよくあります。たとえば、円錐曲線は、特異点（たとえば、点、直線、交差する直線）を持つ場合にのみ退化しています。^[4]

退化した円錐曲線は、既約曲線にならない 円錐曲線セクション（2 次多項式方程式によって定義される2 次平面曲線）です。

• 点は退化した円、つまり半径0の円である。^[1]
• 放物線が接平面上にある場合、直線は放物線の退化ケースです。逆幾何学では、直線は無限の半径を持つ円の退化ケースです。
• 2 本の平行線も退化した放物線を形成します。
• 線分は、半短軸が0、焦点が端点、離心が1 になる楕円の退化したケースとして考えることができます。
• 円は、離心率が0に近づき焦点が合体するので、退化した楕円と考えることができる。 ^[1]
• 楕円は単一の点に縮退することもあります。
• 双曲線は、それらの直線を共通の漸近線として持つ双曲線族を通じて、1 点で交差する 2 本の直線に退化することができます。

退化した三角形は、線分に含まれるという意味で「平坦な」三角形です。したがって、頂点は共線上にあり^[3]、面積はゼロです。3 つの頂点が 2 つずつ異なる場合、0° の角度が 2 つと 180° の角度が 1 つあります。2 つの頂点が等しい場合、0° の角度が 1 つと未定​​義の角度が 2 つあります。3 つの頂点がすべて等しい場合、3 つの角度はすべて未定義です。

長さが 0 である 1 組の対辺を持つ長方形は、面積が 0 の線分になります。長方形の 2 組の対辺の両方の長さが 0 の場合、長方形は点になります。

超長方形は、長方形のn次元版です。n軸のいずれかに沿った辺の長さが 0 の場合、超長方形はより低次元の超長方形に退化し、すべての軸に沿った辺の長さが 0 になる点まで退化します。

少なくとも 2 つの連続する辺が少なくとも部分的に一致するか、少なくとも 1 つの辺の長さが 0 であるか、少なくとも 1 つの角度が 180° である場合、凸多角形は退化しています。したがって、n 辺の退化した凸多角形は、辺の数が少ない多角形のように見えます。三角形の場合、この定義は上記の定義と一致します。

凸多面体は、隣接する 2 つの面が同一平面上にあるか、2 つの辺が一直線上にある場合、退化しています。四面体の場合、これはすべての頂点が同じ平面にあるということに相当し、体積は 0 になります。

• 自己交差が許される状況では、二重被覆球面は、回転軸が生成円の外側ではなく中心を通過する退化した標準トーラスです。
• トーラスは、その短半径が 0 になると円に退化します。

球の半径がゼロになると、結果として生じる体積ゼロの退化した球は点になります。

他の例については一般的な位置を参照してください。

• 一つの点を含む集合は退化した連続体である。
• 二角形や一角形などのオブジェクトは、多角形の退化したケースとして見ることができます。つまり、一般的な抽象数学的な意味では有効ですが、多角形の元のユークリッド概念の一部ではありません。
• 1 つの値のみを取るランダム変数は退化した分布を持ちます。その値が実数 0 の場合、その確率密度はディラックのデルタ関数です。
• 多項式の根は、多重根である場合に退化していると言われることがあります。これは、一般にn次多項式のn個の根がすべて異なるためです。^[1]この用法は固有値問題にも適用されます。退化した固有値は、特性多項式の多重根です。
• 量子力学では、ハミルトニアン演算子の固有値の多重性は、縮退したエネルギーレベルを生じさせます。通常、このような縮退は、システム内の何らかの根本的な対称性を示します。

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