四元数射影空間

数学において、四元数射影空間は、実射影空間と複素射影空間の考え方を、座標が四元数 の環にある場合に拡張したものである。n次元の四元数射影空間は通常、次のように表記される。 ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

は（実）次元 4 nの閉多様体です。これは、複数の意味で、リー群作用の同次空間です。四元数射影直線は、4 次元球面に同相です。 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}}$

その直接的な構成は、除算代数上の射影空間の特別な場合としてである。点の 同次座標は次のように書ける。

${\displaystyle [q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}]}$

ここで、 は四元数であり、全てがゼロではない。2組の座標は、非ゼロの四元数cによる左乗算によって「比例」する場合、同じ点を表す。つまり、 ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle [cq_{0},cq_{1}\ldots ,cq_{n}]}$。

群作用の言語では、は、非ゼロ四元数の乗法群の作用によるの軌道空間です。まず を内部の単位球面上に射影することで、 、単位四元数の群の作用によるの軌道空間と見なすこともできます。 ^[1]すると、球面は上の主 Sp(1) バンドルになります。 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle S^{4n+3}}$${\displaystyle {\text{Sp}}(1)}$${\displaystyle S^{4n+3}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\to S^{4n+3}\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

この束は、(一般化された)ホップファイバと呼ばれることもあります。

の 2 次元複素部分空間によるの構築もあり、これは が複素グラスマン多様体の内部にあることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{2n}}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

空間 は、包含関係にあるすべての有限 の和集合として定義され、分類空間BS ³である。 のホモトピー群は次のように与えられる。これらの群は非常に複雑であることが知られており、特に の無限個の値に対して非ゼロとなる。しかし、 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}}$

有理的に、つまり空間の局所化の後では、はアイレンバーグ・マクレーン空間であることがわかる。つまり、（例K(Z,2)を参照）。有理ホモトピー理論を参照。 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q},4)}$${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.}$

一般に、 は、までの各次元に 1 つのセルを持つセル構造を持ち、そのセルは の倍数です。したがって、そのコホモロジー環は であり、 は4 次元生成子です。これは、複素射影空間に類似しています。また、これは、次元 4 と にのみ無限ホモトピー群を持つ有理ホモトピー理論からも従います。 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle 4n}$${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$${\displaystyle 4n+3}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$は、 上のフビニ・スタディ計量に類似した自然なリーマン計量を持ち、それに関して、正の曲率を持つコンパクトな四元数ケーラー対称空間である。 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

四元数射影空間は剰余類空間として表すことができる。

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)}$

ここでコンパクトシンプレクティック群です。 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

なので、その接バンドルは安定して自明です。残りの接バンドルは、非自明なシュティーフェル・ホイットニー類とポントリャーギン類を持ちます。全体の類は次の式で与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}=S^{4}}$

${\displaystyle w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}}$

${\displaystyle p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}}$

ここで はの生成元であり、 は2 を法とするその縮約である。^[2]${\displaystyle v}$${\displaystyle H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )}$${\displaystyle u}$

上の 1 次元射影空間は、複素射影直線の一般化において「射影直線」と呼ばれます。たとえば、1947 年に PG Gormley によって (暗黙的に) 使用され、線型分数変換を伴う四元数のコンテキストにメビウス群が拡張されました。1 を伴う結合環の線型分数変換については、環上の射影直線とホモグラフィ群 GL(2, A )を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {H} }$

位相的な観点から見ると、四元数射影直線は 4 次元球面であり、実際これらは微分同相多様体です。前述のファイバ化は 7 次元球面からのものであり、ホップファイバ化の例です。

4 次元球面の座標の明示的な表現については、 Fubini-Study 計量に関する記事を参照してください。

8次元には、絶対値1の複素スカラー群が反対側（つまり右側、上のcの作用は左側）に作用する円作用があります。したがって、商多様体${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)}$

を取ることができ、円周群をU(1)と書く。この商は7次元球面であることが示されており、これは1996年のウラジミール・アーノルドの結果であり、後にエドワード・ウィッテンとマイケル・アティヤによって再発見された。

• Arnol'd, VI (1999). 「複素射影平面の複素共役による商の相対値」. Tr. Mat. Inst. Steklova . 224 : 56–6. CiteSeerX  10.1.1.50.6421 .四元数射影空間と 13 次元球面について述べた結果の類似物を扱います。
• ゴームリー、PG (1947)、「ステレオグラフィック投影と四元数の変換の線形分数群」、アイルランド王立アカデミー紀要、セクション A、51 : 67–85、JSTOR  20488472