体積エントロピー

体積エントロピーは、コンパクトリーマン多様体の漸近不変量であり、その普遍被覆内の計量球の体積の指数関数的増加率を測るものです。この概念は、力学系に見られる他のエントロピーの概念と密接に関連しており、微分幾何学や幾何学的群論において重要な役割を果たします。多様体が非正曲率である場合、その体積エントロピーは測地線流の位相エントロピーと一致します。微分幾何学では、与えられた滑らかな多様体上で体積エントロピーを最小化するリーマン計量を求めることが非常に重要であり、局所対称空間はその基本的な例のクラスを形成します。

( M , g ) をコンパクトリーマン多様体とし、普遍被覆を持つとする。${\displaystyle {\tilde {M}}.}$ポイントを選択してください$\displaystyle {\tilde {x}}_{0}\in {\tilde {M}}}$。

体積エントロピー（または漸近的な体積増加）${\displaystyle h=h(M,g)}$極限として定義される

${\displaystyle h(M,g)=\lim _{R\to +\infty }{\frac {\log \left(\operatorname {vol} B(R)\right)}{R}},}$

ここで、B ( R )は半径Rの球であり、$\displaystyle {\tilde {M}}}$中心は$\displaystyle {\tilde {x}}_{0}}$そしてvolは、自然なリーマン計量を持つ普遍被覆におけるリーマン体積である。

A. マニングは、この極限が存在し、基点の選択に依存しないことを証明した。この漸近不変量は、普遍被覆内の球の体積の半径の関数としての指数関数的増加率を表す。

• 体積エントロピーhは常に、 M上の測地線流の位相エントロピーh _topによって上限が定められる。さらに、M が非正の断面曲率を持つ場合、 h = h _{top と}なる。これらの結果はマニングによるものである。
• より一般的には、 Mが共役点を持たない閉じたリーマン多様体であるというより弱い仮定の下では、体積エントロピーは位相エントロピーに等しい（FreireとMañé）。
• 局所的に対称な空間は、体積が規定されている場合にエントロピーを最小化する。これは、Besson、Courtois、Gallotによる非常に一般的な結果の系である（この結果は、Mostowの剛性と、Corlette、Siu、Thurstonによるその様々な一般化も意味する）。

  XとYをコンパクトな向き付けられた連結なn次元滑らかな多様体とし、 f : Y → X を次数がゼロでない連続写像とする。g 0_がX上の負曲率の局所対称リーマン計量であり、gがY上の任意のリーマン計量である場合、

  ${\displaystyle h^{n}(Y,g)\operatorname {vol} (Y,g)\geq \left|\deg(f)\right|h^{n}(X,g_{0})\operatorname {vol} (X,g_{0}),}$

  また、n ≥ 3 の場合、等号は ( Y , g ) が ( X , g ₀ )と同じタイプの局所対称であり、 f が( Y , g ) → ( X , g ₀ )の相似被覆に相似である場合に限り成立する。

カトクのエントロピー不等式は最近、大きな種数を持つ曲面の収縮比の厳密な漸近的境界を得るために利用されました（曲面の収縮を参照） 。

• Besson, G.、Courtois, G.、Gallot, S.エントロピーと厳密な空間の位置対称性とクールビュールの厳密性は否定的です。 (フランス語) [厳密に負の曲率を持つ局所対称空間のエントロピーと剛性] Geom。機能。アナル。 5 (1995)、いいえ。 5、731–799
• Katok, A.: エントロピーと閉じた測地線、Erg. Th. Dyn. Sys. 2 (1983), 339–365
• カトック、A.、ハッセルブラット、B.：現代力学系理論入門。カトックとL.メンドーサによる補足章付き。数学とその応用百科事典、54。ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、1995年
• Katz, M.; Sabourau, S.: 収縮期極値曲面のエントロピーと漸近境界. Erg. Th. Dyn. Sys. 25 (2005), 1209-1220
• マニング、A.：測地線流の位相エントロピー。Ann. of Math. (2) 110 (1979)、no. 3、567–573