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確率的（/ st ə ˈ k æ st ɪ k / ;古代ギリシャ語στόχος ( stókhos ) '目標、狙い、推測'に由来）[ 1 ]は、ランダムな確率分布によって適切に記述される性質です。[ 1 ]確率性とランダム性は技術的には異なる概念です。確率性とはモデリングのアプローチを指し、ランダム性とは現象を記述します。これらの用語はしばしば互換的に使用されます。確率論では、確率過程の形式的な概念はランダム過程とも呼ばれます。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
確率性は、アクチュアリー科学、画像処理、信号処理、コンピュータ科学、情報理論、電気通信[ 7 ] 、化学[ 8 ] 、生態学[ 9 ] 、神経科学[ 10 ]、物理学[ 11 ] [ 12 ] [ 13] [ 14 ] 、暗号学[ 15 ] [ 16 ]など、さまざまな分野で使用されています。また、金融、医学、言語学、音楽、メディア、色彩理論、植物学、製造業、地形学[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]でも使用されています。
英語のstochastic という単語は、もともとは「推測に関する」という意味の形容詞として使われており、ギリシャ語で「的を狙う、推測する」という意味の言葉に由来し、オックスフォード英語辞典ではその最も古い用例として 1662 年が挙げられています。[ 1 ]ヤコブ・ベルヌーイは、1713 年にラテン語で出版された確率論に関する著作Ars Conjectandiの中で、「 Ars Conjectandi sive Stochastice 」 というフレーズを使用しており、これは「推測の技術または確率論」と訳されています。[ 20 ]このフレーズは、ベルヌーイに言及して、ラディスラウス・ボルトキエヴィチによって使用され、[ 21 ]彼は 1917 年にドイツ語で「ランダム」という意味でStochastikという単語を書きました。stochastic processという用語は、ジョセフ・L・ドゥーブによる 1934 年の論文で初めて英語に登場しました 。[ 1 ]この用語と具体的な数学的定義については、ドゥーブは1934年の別の論文を引用しており、そこではアレクサンドル・ヒンチン がドイツ語でstochastischer Prozeßという用語を使用していたが、[ 22 ] [ 23 ]このドイツ語の用語は、それより前の1931年にアンドレイ・コルモゴロフによって使用されていた。[ 24 ]
1930年代初頭、アレクサンドル・ヒンチンは、実数直線によって添え字付けられた確率変数の族として、確率過程の最初の数学的定義を与えた。[ 25 ] [ 22 ] [ a ]確率論と確率過程に関するさらなる基礎研究は、ヒンチンのほか、アンドレイ・コルモゴロフ、ジョセフ・ドゥーブ、ウィリアム・フェラー、モーリス・フレシェ、ポール・レヴィ、ヴォルフガング・ドブリン、ハラルド・クラメールなどの数学者によって行われた。[ 27 ] [ 28 ]数十年後、クラメールは1930年代を「数学的確率論の英雄時代」と呼んだ。[ 28 ]
数学において、確率過程の理論は確率論への重要な貢献であり、[ 29 ]理論と応用の両面で活発な研究テーマであり続けている。[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
「確率的」という言葉は、数学における他の用語や対象を説明するためにも用いられます。例えば、マルコフ過程として知られる確率過程を記述する確率行列や、ウィーナー過程（ブラウン運動過程とも呼ばれる）などの確率過程に基づく微分方程式や 積分を扱う確率微分積分学などが挙げられます。
最も単純な連続時間確率過程の一つにブラウン運動がある。これは、植物学者のロバート・ブラウンが水中の花粉粒を顕微鏡で観察していた際に初めて発見された。
モンテカルロ法は、物理学者のスタニスワフ・ウラム、エンリコ・フェルミ、ジョン・フォン・ノイマン、ニコラス・メトロポリスによって普及した確率的手法である。[ 33 ]ランダム性の使用とプロセスの反復性は、カジノで行われる活動に類似している。シミュレーションと統計的サンプリングの手法は、一般的にその逆で、シミュレーションを使用して、事前に理解された決定論的な問題をテストする。歴史的に「逆」のアプローチの例は存在するが、モンテカルロ法の人気が広まるまでは、一般的な手法とはみなされていなかった。
おそらく最も有名な初期の応用例は、1930年にエンリコ・フェルミが、新たに発見された中性子の特性を計算するためにランダム法を用いたことでしょう。モンテカルロ法はマンハッタン計画に必要なシミュレーションの中心でしたが、当時の計算ツールによって著しく制限されていました。そのため、電子計算機が初めて構築された後（1945年以降）になって初めて、モンテカルロ法が本格的に研究されるようになりました。1950年代には、ロスアラモス研究所で水素爆弾の開発に関する初期の研究に使用され、物理学、物理化学、オペレーションズリサーチの分野で普及しました。この時期にモンテカルロ法の資金提供と情報普及を担当した主要組織は、ランド研究所と米国空軍の2つであり、モンテカルロ法はさまざまな分野で幅広く応用されるようになりました。
モンテカルロ法を用いるには大量の乱数が必要であり、その乱数の利用が擬似乱数発生器の開発を促した。擬似乱数発生器は、従来統計的サンプリングに用いられていた乱数表よりもはるかに迅速に使用できるものであった。
生物系では、確率共鳴の技術（確率的な「ノイズ」を導入する）が、バランスやその他の前庭系通信のための内部フィードバックループの信号強度を改善するのに役立つことがわかっています。[ 34 ]この技術は、糖尿病患者や脳卒中患者のバランス制御に役立っています。[ 35 ]
多くの生化学的現象は確率解析に適しています。たとえば、遺伝子発現は、 RNAポリメラーゼが遺伝子プロモーターに結合および解離する際の分子衝突などを通じて確率的要素を持ち、これが転写のバーストや細胞間のRNA分布の超ポアソン変動に寄与します[ 36 ] 。これは、溶液のブラウン運動を介して起こります。
シモントン（2003年、Psych Bulletin）は、科学（科学者の）における創造性は制約された確率的行動であり、すべての科学における新しい理論は、少なくとも部分的には確率過程の産物であると主張している。[ 37 ]
確率的レイトレーシングとは、モンテカルロシミュレーションをコンピュータグラフィックスのレイトレーシングアルゴリズムに応用したものです。「分散型レイトレーシングは、被積分関数を多数のランダムに選択された点でサンプリングし、その結果を平均化することで、より精度の高い近似値を得ます。これは本質的にモンテカルロ法を3Dコンピュータグラフィックスに応用したものであり、そのため確率的レイトレーシングとも呼ばれます。」
確率的フォレンジックは、コンピュータを確率的なステップとして捉えることで、コンピュータ犯罪を分析する。
人工知能において、確率的プログラムは、シミュレーテッドアニーリング、確率的ニューラルネットワーク、確率的最適化、遺伝的アルゴリズム、遺伝的プログラミングのように、確率的手法を用いて問題を解決します。問題自体が確率的である場合もあり、例えば不確実性下での計画などが挙げられます。大規模な言語モデルは、確率的オウムとして表現されることもあります。
金融市場では、様々な金融資産のランダムに見える挙動を表現するために確率モデルが用いられます。これには、ある通貨の価格と別の通貨の価格とのランダムな変動（例えば、米ドルとユーロの価格との変動）や、金利のランダムな変動の表現などが含まれます。これらのモデルは、金融アナリストが株価、債券価格、金利に関するオプションを評価する際に利用されます（マルコフモデルを参照）。さらに、保険業界の中核を成すものでもあります。
河川の蛇行形成は、確率過程として分析されてきた。
言語研究における非決定論的アプローチは、例えば、フェルディナン・ド・ソシュールの機能主義的言語理論に大きく影響を受けており、能力はパフォーマンスに基づいていると主張している。[ 38 ] [ 39 ]文法の機能理論におけるこの区別は、ラングとパロールの区別とは注意深く区別する必要がある。言語知識が言語経験によって構成される限り、文法は固定され絶対的なものではなく、確率的で可変的であると主張される。文法を確率的で可変的なものと捉えるこの概念は、個人の能力が言語経験に応じて変化するという考えに基づいている。この概念は議論の的となっているが、[ 40 ]現代の統計的自然言語処理[ 41 ]や言語学習と変化の理論[ 42 ]の基礎も提供している。
製造プロセスは確率過程であると仮定されます。この仮定は、連続製造プロセスとバッチ製造プロセスのいずれにも概ね当てはまります。プロセスのテストと監視は、特定のプロセス制御パラメータを時間経過とともにプロットするプロセス管理図を使用して記録されます。通常、12個以上のパラメータが同時に追跡されます。統計モデルを使用して限界線を定義し、プロセスを意図した動作範囲に戻すために是正措置を講じる必要があるタイミングを決定します。
この同じアプローチはサービス業界でも用いられており、そこではパラメータの代わりにサービスレベル契約に関連するプロセスが用いられる。
マーケティングや視聴者の嗜好の変化、特定の映画やテレビ番組のデビュー作の宣伝や科学的な魅力（つまり、公開週末の興行成績、口コミ、調査対象グループにおける認知度、スターの名前の認知度、ソーシャルメディアでの宣伝や広告のその他の要素）は、確率モデルによって部分的に決定される。
確率的影響、または「偶然的影響」とは、放射線影響の分類の一つで、損傷がランダムかつ統計的に発生する性質を指します。確定的影響とは対照的に、その深刻度は線量とは無関係です。影響が発生する確率のみが線量とともに増加します。
音楽においては、確率に基づいた数学的プロセスによって確率的な要素を生み出すことができる。
確率過程は、音楽において固定された楽曲を作曲するために使用することも、演奏中に生み出すこともできる。確率音楽は、イアニス・クセナキスによって開拓され、彼は「確率音楽」という用語を造語した。音楽作曲に応用された数学、統計学、物理学の具体的な例としては、 『ピトプラクタ』における気体の統計力学の使用、『ディアモルフォーゼス』における平面上の点の統計的分布、『アコリプシス』における最小制約、『ST/10』および『アトレ』における正規分布、『アナロジケ』におけるマルコフ連鎖、『デュエル』および『ストラテジー』におけるゲーム理論、『ノモス・アルファ』（ジークフリート・パーム用）における群論、『ヘルマ』および『エオンタ』における集合論[ 43 ]、『N'シマ』におけるブラウン運動などがある。クセナキスは、 『モルシマ・アモルシマ』や『アトレ』を含むSTシリーズなどの楽譜を作成するためにコンピュータを頻繁に使用し、CEMAMuを設立した。以前、ジョン・ケージらは偶然性に基づく不確定音楽を作曲していた。これは偶然のプロセスによって生み出されるが、厳密な数学的根拠は持たない（例えば、ケージの『変化の音楽』は易経に基づく図表システムを使用している）。レジャレン・ヒラーとレナード・アイザックソンは、1957年の『イリアック組曲』で生成文法とマルコフ連鎖を用いた。現代の電子音楽制作技術は、これらのプロセスを比較的簡単に実装できるようにしており、シンセサイザーやドラムマシンなどの多くのハードウェア機器にはランダム化機能が組み込まれている。そのため、生成音楽の技術は作曲家、演奏家、プロデューサーにとって容易に利用できるものとなっている。
確率的社会科学理論は、事象がシステムの相互作用であるという点でシステム理論に似ているが、無意識のプロセスに顕著な重点を置いている。事象はそれ自体で可能性の条件を作り出し、関わる変数の数だけを考えれば予測不可能となる。確率的社会科学理論は、人間の行動を従来の「先天性か後天性か」という対立軸と並べて位置づけるための、一種の「第三の軸」の発展形と見なすことができる。確率的社会科学理論の例としては、ジュリア・クリステヴァの「記号論」の使用、リュス・イリガライの逆ハイデガー的認識論、ピエール・ブルデューの多元的空間に関する著作を参照されたい。
カラー複製を作成する際、画像は各色ごとにフィルター処理された複数の写真を撮影することで、構成色に分解されます。結果として得られるフィルムまたはプレートは、シアン、マゼンタ、イエロー、ブラックの各データを表します。カラー印刷はインクの有無が二値システムであるため、印刷されるすべての色分解は、ワークフローのどこかの段階でドットに変換する必要があります。振幅変調された従来のラインスクリーンはモアレの問題がありましたが、確率的スクリーニングが利用可能になるまで使用されていました。確率的（または周波数変調）ドットパターンは、より鮮明な画像を作成します。
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Wiktionaryにおけるstochasticの辞書定義