スターポリゴン

幾何学において、星型多角形は非凸多角形の一種です。正星型多角形は詳細に研究されてきました。星型多角形は一般に正式に定義されていないようですが、正単純多角形または星型多角形の切り捨て操作によって、いくつかの注目すべき多角形が生成されることがあります。

ブランコ・グリュンバウムは、ヨハネス・ケプラーによるこの用語の2つの主な用法を特定しました。1つは新しい頂点を生成しない交差する辺を持つ正星型多角形に対応し、もう1つは等軸凹状単純多角形に対応します。^[1]

ポリグラムには、五芒星のような多角形だけでなく、六芒星のような複合図形も含まれます。

タートルグラフィックスで使用されるスターポリゴンの定義の1つは、スピロラテラルのように、q ≥ 2回転（qは回転数または密度と呼ばれる）を持つポリゴンです。^[2]

星型多角形の名前は、 penta-などの数字の接頭辞とギリシャ語の接尾辞-gramを組み合わせたものです（この場合はpentagramという単語が生成されます）。接頭辞は通常ギリシャ語の基数ですが、他の接頭辞を使用した同義語も存在します。たとえば、9つの頂点を持つ多角形、つまりエニアグラムは、ラテン語の序数nona を使用したnonagramとも呼ばれます。^{[要出典]接尾}辞 -gram は、線を意味するγραμμή ( grammḗ )に由来しています。 ^[3]星型多角形という名前は、これらの形状が実際の星の 回折スパイクに似ていることを反映しています。

正星型多角形は、自己交差し、等辺かつ等角な多角形です。

正星型多角形は、シュレーフリ記号{ p / q } で表されます。ここで、p (頂点の数) とq (密度) は互いに素であり(共通の因数を持たない)、q ≥ 2 です。多角形の密度は、回転数とも呼ばれます。回転数は、すべての頂点の回転角度の合計を360° で割った値です。

{ p / q }の対称群は、qに依存しない、位数 2 pの二面体群D _pです。

正星型多角形はトーマス・ブラッドワーディンによって初めて体系的に研究され、後にヨハネス・ケプラーによって研究された。^[4]

正星型多角形は、正p辺の単純多角形の 1 つの頂点を、最初の頂点に隣接していない別の頂点に接続し、元の頂点に戻るまでこのプロセスを続けることによって作成できます。^[5]あるいは、整数pとqについては、円形に等間隔に配置されたp個の点のうちq番目の点ごとに接続することによって構築されると考えることができます。 ^[6]たとえば、正五角形で、1 番目の頂点から 3 番目の頂点、3 番目の頂点から 5 番目の頂点、5 番目の頂点から 2 番目の頂点、2 番目の頂点から 4 番目の頂点、4 番目の頂点から 1 番目の頂点に線を引くと、五芒星が得られます。

q ≥ p /2の場合、{ p / q }の構築は{ p /( p − q )} と同じ多角形になります。つまり、五角形の 3 つ目の頂点ごとに接続すると、2 つ目の頂点ごとに接続した場合と同じ結果が得られます。ただし、頂点に到達する方向は逆であるため、逆行多角形が高次元多面体に組み入れられると違いが生じます。たとえば、順行五角形 {5/2} から形成された反プリズムは、五角形の反プリズムになります。逆行「交差五角形」 {5/3} からの類似の構築は、五角形の交差反プリズムになります。別の例は、交差三角形 {3/2}カップロイドと見ることができる四半六面体です。

pとqが互いに素でない場合、頂点と辺が一致する退化した多角形が生成される。例えば、{6/2}は三角形として表示されるが、1-3と4-6の2組の頂点でラベル付けすることができる。これは2つの重なり合った三角形としてではなく、二重に巻かれた単一の一筆書き六角形として見る必要がある。^{[7] [8]}

あるいは、正星型多角形は、凸正核多角形の星型化の連続として得ることもできる。星型化に基づく構成では、頂点の密度qと頂点の数pが互いに素でない場合にも、正多角形複合を得ることができる。しかし、星型化から星型多角形を構成する場合、 q > p /2 であれば線は無限に発散し、q = p /2 であれば線は平行になり、ユークリッド空間ではどちらもそれ以上交差しない。しかし、モノゴンやディゴンと同様に、球面空間でそのような多角形をいくつか構成することは可能かもしれないが、そのような多角形はまだ詳細に研究されていないようである。

交差する線分を正星型n角形から削除すると、結果として得られる図形は正星型ではなくなりますが、2 つの異なる半径に頂点が交互に並ぶ等軸凹単純 2 n 角形と見ることができます。Branko Grünbaum は 、 著書『Tilings and patterns』の中で、正多角形{ n / d }の輪郭に一致するこのような星型を| n / d | として表しています。より一般的には、外側の内角𝛼 を持つ等軸凹単純2 n 角形または等軸凸単純2 n角形を表す { n _𝛼 }で表しています。

• | n / d |の場合、外側の内角𝛼 = 180(1 − 2 d / n )度は必然的に成り立ち、内側の（新しい）頂点の外角 β _ext = 180[1 − 2( d − 1)/ n ]度は必然的に成り立ちます。
• { n _𝛼 } の場合、外側の内角と内側の外角（𝛼 とβ _extとも表記）は、どの正多角形 { n / d } の角とも一致する必要はありません。ただし、𝛼 < 180(1 − 2/ n )度かつβ _ext < 180°である必要があります（ここで、{ n _𝛼 } は凹面です）。^[1]

これらの多角形はタイルパターンでよく見られます。パラメトリック角度 𝛼 (度またはラジアン) は、テッセレーションパターンで隣接する多角形の内角と一致するように選択できます。ヨハネス・ケプラーは1619 年の著作Harmonices Mundiの中で、周期的なタイルパターンの中に、 3 つの正五角形と 1 つの正星型五角形が特定の頂点の周りに収まる 5.5.5.5/2 のような非周期的なタイルパターンを含めており、これは現代のペンローズ タイルパターンに関連しています。^[9]

星型多角形の内部は、さまざまな方法で扱われることがあります。五角形については、3つの処理方法が示されています。ブランコ・グリュンバウムとジェフリー・シェパードは、そのうちの2つを、正星型n角形と等軸凹型単純2n角形として検討しています。^[9]

これら 3 つの治療法は次のとおりです。

• 線分が発生する場合、片側は外側として扱われ、もう片側は内側として扱われます。これは左側の図に示されており、コンピューターのベクター グラフィックスのレンダリングでよく発生します。
• 多角形曲線が特定の領域の周りを巻く回数によって、その領域の密度が決まります。外部には密度 0 が与えられ、密度 > 0 の領域は内部として扱われます。これは中央の図に示されており、多面体の数学的処理でよく見られます。(ただし、向き付け不可能な多面体の場合、密度は 2 を法としてしか考えられないため、一貫性を保つために、最初の処理が代わりに使用されることがあります。)
• 2 辺の間に線分が引かれる場合、その線分が存在する領域は図形の内部として扱われます。これは右の図に示されており、物理モデルを作成するときによく発生します。

多角形の面積を計算する場合、これらの各アプローチでは異なる結果が生成されます。

星型多角形は、芸術や文化において重要な役割を果たします。このような多角形は、規則的である場合もそうでない場合もありますが、常に対称性が非常に高くなっています。例としては、次のものがあります。

• {5/2} 星の五角形 (五芒星) は、ペンタアルファまたはペンタングルとしても知られており、歴史的に多くの魔術や宗教のカルトによってオカルト的な意味を持つと考えられてきました。
• {7/2} と {7/3} の星型多角形 (ヘプタグラム) も、特にカバラとウィッカにおいてオカルト的な意味を持っています。
• {8/3} 星型多角形 (八芒星) は、ムガル帝国の イスラム美術や建築によく見られる幾何学的モチーフで、最初のものはアゼルバイジャンの国章に描かれています。
• シャー・ネマトッラー・ヴァリーの墓には、十一芒星と呼ばれる11の尖った星が使われていた。^[11]

• 正多面体と複合体の一覧#星
• 五芒星
• 魔法の星
• モラヴィアの星
• ペンタグラマ・ミリフィカム
• 正星型4次元多面体
• ルブ・エル・ヒズブ
• 星（グリフ）
• 星型多面体、ケプラー・ポアンソ多面体、均一星型多面体
• ヒトデ

• クロムウェル、P.; Polyhedra、CUP、ハードカバー、1997年、ISBN 0-521-66432-2。ペーパーバック、1999年、ISBN 0-521-66405-5。p . 175  
• Grünbaum, B.および GC Shephard; Tilings and Patterns、ニューヨーク: WH Freeman & Co. (1987)、ISBN 0-7167-1193-1。 
• Grünbaum, B. ; Polyhedra with Hollow Faces、NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto, 1993) の議事録、T. Bisztriczky他編、Kluwer Academic (1994)、pp. 43–70。
• John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、The Symmetries of Things、2008 年、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 26 章、p. 404: 正則星型多面体 次元 2) 
• ブランコ・グリュンバウム、「多角形の変容」 、 The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History (1994)に掲載

Hart, Vi (2010)。「数学の授業での落書き：星」。YouTube。