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抽象代数学において、環R上の加群Mの付随素イデアルとは、 Mの (素) 部分加群の零化イデアルとして現れるRの素イデアルの一種である。付随素イデアルの集合は通常、で表される。${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$そして、Mの暗殺者または暗殺者と呼ばれることもあります (表記と、関連する素数が消滅素数であるという事実との間の言葉遊び)。^{[ 1 ]}

可換代数において、関連する素イデアルは、可換ネーター環におけるイデアルのラスカー・ネーター素分解と結びついている。具体的には、イデアルJが素イデアルの有限個の共通部分として分解される場合、これらの素イデアルの根基は素イデアルであり、この素イデアルの集合は と一致する。$\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$^{[ 2 ]}イデアルの「関連素数」の概念と関連しているのは、孤立素数と埋め込み素数。

零でないR加群N は、零化群が零でない場合に素加群と呼ばれる。${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(N)=\mathrm {アン} _{R}(N')\,}$Nの任意の非零部分加群N'に対して。素加群Nに対して、${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(N)\,}$Rの素イデアルである。^{[ 3 ]}

R加群Mの付随素イデアルは、次の形式のイデアルである。${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(N)\,}$ここで、NはMの素部分加群である。可換代数では、通常の定義は異なるが、同等である。^{[ 4 ]} Rが可換である場合、 Mの付随素Pは、次の形式の素イデアルである。${\displaystyle \mathrm {アン} _{R}(m)\,}$Mの非ゼロ要素mに対して、または同等に${\displaystyle R/P}$Mの部分加群と同型である。

可換環Rにおいて、${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$（集合論的包含関係に関して）は孤立素数と呼ばれ、残りの関連素数（つまり、関連素数を真に含むもの）は埋め込み素数と呼ばれます。

モジュールは、ある非零のm ∈ Mに対してxm = 0ならば、ある正の整数nに対してx ⁿ M = 0となる場合、共主モジュールと呼ばれる。可換ネーター環上の非零有限生成モジュールMは、ちょうど 1 つの素数を持つ場合に限り共主モジュールである。Mの部分モジュールNは、次の場合にP-主モジュールと呼ばれる。      ${\displaystyle M/N}$イデアルIはPと共主イデアルである。イデアル I がP主イデアルであるのは、次の場合に限る。${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}}$したがって、この概念は基本的な理想の一般化である。

これらの特性と主張のほとんどは、（Lam 1999 ）の86ページ以降に記載されています。

• M' ⊆ Mの場合、${\displaystyle \mathrm {尻} _{R}(M')\subseteq \mathrm {尻} _{R}(M)。}$さらに、M'がMの本質的部分加群である場合、それらに対応する素数は一致する。
• 可換局所環であっても、有限生成加群の付随素数の集合が空集合となる可能性はある。しかし、イデアルの昇鎖条件を満たす任意の環（例えば、任意の右ネーター環または左ネーター環）では、すべての非零加群は少なくとも1つの付随素数を持つ。
• 均一加群は、対応する素数が0個か1個のいずれかであるため、均一加群は共素加群の一例となる。
• 片側ネーター環の場合、分解不可能な単射加群の同型類の集合からスペクトルへの射影が存在する。${\displaystyle \mathrm {Spec} (R).}$Rがアルティン環である場合、この写像は全単射となる。
• マトリスの定理：可換ネーター環Rに対して、分解不可能な単射加群の同型類からスペクトルへの写像は全単射である。さらに、これらの類の代表元は次のように与えられる。${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}})\,}$どこ${\displaystyle E(-)\,}$は射影包を表し、${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,}$Rの素イデアルの範囲をとっている。
• 任意の環上のネーター加群Mに対して、 Mの付随素数は有限個しか存在しない。

可換ネーター環の場合については、関連素数からの一次分解#一次分解も参照してください。

• もし${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$関連する基本理念${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$理想とは${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$そして${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3})。}$
• Rが整数環である場合、非自明な自由アーベル群と素数冪位数の非自明なアーベル群は共原初群である。
• Rが整数環で、M が有限アーベル群である場合、 Mの対応する素数は、Mの位数を割り切る素数と完全に一致する。
• 位数 2 の群は整数Zの商群(それ自身上の自由加群とみなされる) ですが、その付随素イデアル (2) はZの付随素数ではありません。

• ニコラ・ブルバキ、代数可換
• アイゼンバッド、デイビッド（1995）、『可換代数』、大学院数学テキスト、第150巻 、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 978-0-387-94268-1MR 1322960​ 
• Lam, Tsit Yuen (1999)『加群と環に関する講義』、大学院数学テキスト第189巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• 松村英之(1970)、可換代数