超平面セクション

数学において、射影空間P ⁿの部分集合Xの超平面切断とは、 Xと何らかの超平面Hの交差のことです。言い換えると、H を線型部分空間として定義する単一の線型条件L = 0を満たすXの元xの部分集合X _Hを調べます。ここで、LまたはH は、同次座標の非ゼロ線型形式の双対射影空間にわたって、スカラー倍数までの範囲をとります。

幾何学的観点から、最も興味深いケースは、 Xが代数的部分多様体である場合です。より一般的なケースでは、数学的解析において、ラドン変換の類似物が適用されます。代数幾何学では、 X がどのHにも完全には含まれない部分多様体Vであると仮定すると、超平面セクションは、すべて次元 dim( V ) − 1 の既約成分を持つ代数集合です。さらに言えることは、ベルティーニの定理として総称される一連の結果によって説明されます。超平面セクションの位相は、レフシェッツ超平面定理とその改良のトピックで研究されています。超平面セクションをとると次元が 1 つ減少するため、このプロセスは、高次元の多様体を理解するための帰納的方法になる可能性があります。そのための基本的なツールは、レフシェッツペンシルです。

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157