有限型の射

可換代数では、準同型が与えられた場合${\displaystyle A\to B}$可換環の、${\displaystyle B}$と呼ばれる${\displaystyle A}$-有限型の代数${\displaystyle B}$有限生成可能${\displaystyle A}$-代数。これは、${\displaystyle B}$有限であること${\displaystyle A}$-代数、つまり${\displaystyle B}$有限生成​${\displaystyle A}$-モジュール。例えば、任意の可換環の場合${\displaystyle A}$および自然数${\displaystyle n}$多項式環${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$は${\displaystyle A}$有限型の代数であるが、有限ではない${\displaystyle A}$-代数でない限り${\displaystyle A}$= 0 または${\displaystyle n}$= 0。有限ではない有限型準同型の別の例は${\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)}$。

スキームの観点からの類似の概念は、射が${\displaystyle f:X\to Y}$スキームの型が有限である場合${\displaystyle Y}$アフィン開部分スキームによる被覆を有する${\displaystyle V_{i}=\operatorname {Spec} (A_{i})}$そのため${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$アフィン開部分スキームによる有限被覆を持つ${\displaystyle U_{ij}=\オペレーター名 {スペック} (B_{ij})}$の${\displaystyle X}$と${\displaystyle B_{ij}}$1${\displaystyle A_{i}}$有限型の代数。また、次のように言うこともできます。${\displaystyle X}$は有限型である${\displaystyle Y}$。

例えば、任意の自然数に対して${\displaystyle n}$そしてフィールド${\displaystyle k}$アフィン​${\displaystyle n}$-空間と射影${\displaystyle n}$-スペースオーバー${\displaystyle k}$有限型である${\displaystyle k}$（つまり、${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$）は有限ではないが、${\displaystyle k}$ない限り${\displaystyle n}$= 0。より一般的には、上の任意の準射影スキーム${\displaystyle k}$は有限型である${\displaystyle k}$。

ネーター正規化補題は、幾何学的に言えば、すべてのアフィンスキームが${\displaystyle X}$体上の有限型${\displaystyle k}$アフィン空間への有限全射射を持つ${\displaystyle \mathbf {A} ^{n}}$以上${\displaystyle k}$、 どこ${\displaystyle n}$は次元です${\displaystyle X}$同様に、すべての射影スキーム${\displaystyle X}$体上の射は、射影空間への有限全射射を持つ。${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$、 どこ${\displaystyle n}$は次元です${\displaystyle X}$。

ボッシュ、ジークフリート（2013）。代数幾何学と可換代数。ロンドン：シュプリンガー。360–365頁。ISBN  9781447148289。