安定した主要バンドル

数学、特に微分幾何学と代数幾何学において、安定主束は安定ベクトル束の概念を主束の設定に一般化したものである。主束の安定性の概念は、リーマン面上のG主束のモジュライ空間を定義する目的でアナマライ・ラマナサンによって導入されたものであり、ベクトル束のモジュライ空間に関するデイヴィッド・マンフォードらによる以前の研究を一般化したものである。 ^{[1] [2] [3]}

ベクトル束の安定性に関する多くの主張は、安定主束の言語に翻訳できる。例えば、主束に対する小林-ヒッチン対応の類似である、コンパクトケーラー多様体上の正則主束が多安定である場合にのみエルミート-アインシュタイン接続を許容するという主張は、射影多様体の場合にスブラマニアンとラマナサンによって、任意のコンパクトケーラー多様体の場合にアンシュシュとビスワスによって真であることが示された。^{[4] [5]}

主束の安定性の本質的な定義はラマナサンによってなされたが、リーマン面の場合にのみ適用される。^[2]この節では、アンシュシュとビスワスの研究に現れる定義を述べる。これは任意のケーラー多様体に対して有効であり、代数多様体に対してより一般的には意味をなす。^[5]これは、多様体がリーマン面である場合のラマナサンの定義に帰着する。

を複素数 上の連結簡約代数群とする。を複素次元 のコンパクトなケーラー多様体とする。を 上の正則主 -バンドルと仮定する。ここで正則とは、 に対する遷移関数が正則に変化するという意味であり、これは構造群 が複素リー群であるため意味がある。主バンドルが安定(または半安定)である とは、 が余次元 を持つ開部分集合である最大放物型部分群に対する構造群のすべての簡約に対して、次が成り立つことを意味する。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sigma :U\to P/Q}$${\displaystyle Q\subset G}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle \operatorname {codim} (X\バックスラッシュ U)\geq 2}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q>0\quad ({\text{resp. }}\geq 0).}$

ここで、ファイバーバンドルの相対接線バンドルは、の垂直バンドルとも呼ばれます。ベクトルバンドル（またはコヒーレント層）の次数は次のように定義されること を思い出してください。${\displaystyle T_{\operatorname {rel} }P/Q}$${\displaystyle \left.P/Q\right|_{U}\to U}$${\displaystyle T(\left.P/Q\right|_{U})}$${\displaystyle F\to X}$

${\displaystyle \operatorname {deg} (F):=\int _{X}c_{1}(F)\wedge \omega ^{n-1},}$

ここで、 はの最初のチャーン類です。上記の設定では、の内部で定義されたバンドルの次数が計算されますが、 の補集合の余次元が 2 より大きいため、積分の値は 全体にわたる値と一致します。 ${\displaystyle c_{1}(F)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$

の場合、つまり がリーマン面である場合、の 余次元に関する仮定により が成立するはずなので、 の全体にわたって構造群の縮小を考慮すれば十分であることに注意してください。${\displaystyle \dim X=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U=X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma :X\to P/Q}$

複素リー群の主 - バンドルが与えられた場合、それに関連付けることができる自然なベクトル バンドルがいくつかあります。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

まず、一般線型群 の場合、上のの標準表現により、付随バンドル を構築できます。これは上の正則ベクトルバンドルであり、主バンドルの上記の安定性の定義は の傾き安定性に相当します。重要な点は、最大放物型部分群はフラグ の選択に対応し、 は部分群 の下で不変であるということです。 の構造群はに簡約され、ベクトル部分空間 を保存するので、付随バンドル を取ることができます。これは、構造群の簡約が定義されている部分集合上の の部分バンドルであり、したがって全体上のの部分層です。次に、次のように計算できます。 ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle Q\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle 0\subset W\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle W\subset \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle F=P\times _{Q}W}$${\displaystyle E}$${\displaystyle U\subset X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \deg \sigma ^{*}T_{\operatorname {rel} }P/Q=\mu (E)-\mu (F)}$

ここで、はベクトル束の 傾きを表します。${\displaystyle \mu}$

構造群が でない場合、への自然な付随ベクトル束、すなわちのリー代数によってファイバーが与えられる随伴束 が依然として存在する。主束が半安定であるためには随伴束が傾き半安定であり、さらに が安定であれば は傾き多安定である。^[5]ここでも重要な点は、放物型部分群 に対して放物型部分代数が得られ、付随部分束 を取ることができるということである。この場合、上の の随伴表現が常に忠実または既約であるとは限らないため、より注意が必要である。後者の条件は、主束の安定性が随伴束の多安定性のみにつながる理由を暗示している(直和として分割される表現は、付随束の直和として分割されるため)。 ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ad} P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ad} P}$${\displaystyle Q\subset G}$${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ベクトル束をヒッグス束の概念に一般化できるのと同様に、主 -ヒッグス束の定義を定式化することができます。主束の安定性の上記の定義は、構造群の縮小が主ヒッグス束のヒッグス場と互換性があることを要求することで、これらのオブジェクトに一般化されます。アンシュとビスワスによって、ヒッグスベクトル束の非可換ホッジ対応の類似は、基本多様体が複素射影多様体である場合に主 -ヒッグス束に対しても当てはまることが示されました。^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (X,\omega )}$