評価基準

数学、特に代数幾何学において、評価基準とは、代数多様体の射、あるいはより一般的にはスキームが普遍的に閉じているか、分離しているか、あるいは適切であるかを判定することを可能にする一連の結果である。

評価環Aは領域であることを思い出してください。したがって、 K がAの分数の体である場合、Spec KはSpec Aの一般点です。

XとYをスキームとし、f  : X → Yをスキームの射とする。このとき、以下は同値である。^{[ 1 ] [ 2 ]}

1. fは分離されている（それぞれ、普遍的に閉じている、それぞれ、固有である）
2. fは準分離（それぞれ準コンパクト、それぞれ有限型かつ準分離）であり、任意の評価環Aに対して、Y' = Spec AでX'がY'の一般点を表す場合、一般点を持ち上げる任意の射Y' → Yおよび任意の射X' → Xに対して、 Y' → Xの持ち上げは最大で 1 つ（それぞれ少なくとも 1 つ、それぞれちょうど 1 つ）存在する。

持ち上げ条件は、自然射を指定することと同等である。

${\displaystyle {\text{Hom}}_{Y}(Y',X)\to {\text{Hom}}_{Y}(\operatorname {Spec} K,X)}$

単射（または全射、または全単射）である。

さらに、 Yが（局所的に）ネーター的である特殊な場合、 Aが離散付値環である場合をチェックすれば十分である。

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1961)。"Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné)  : II. Étude globale élémentaire de quelques class de morphismes"。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。8 : 5– 222.土井: 10.1007/bf02699291。2017 年 1 月 12 日にオリジナルからアーカイブされました。2008 年 8 月 12 日に取得。