原像定理

数学、特に微分位相幾何学の分野において、原像定理は、滑らかな写像の作用下にある多様体内の特定の点の原像に関する暗黙の関数定理の変形である。^{[1] [2]}

定義。を多様体間の滑らかな写像とする。すべての写像が射影的である場合、点がの正則値であると言う。ここで、および は、点およびにおけるおよびの接空間である。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\displaystyle df_{x}:T_{x}X\to T_{y}Y}$${\displaystyle T_{x}X}$${\displaystyle T_{y}Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

定理。を滑らかな写像とし、を の正則値とすると、 はの部分多様体となる。の余次元はの次元に等しい。また、におけるの接空間は に等しい。${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle y\in {\text{im}}(f),}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ker(df_{x}).}$

この定理には複雑なバージョンもある: ^[3]

定理。とを複素次元の2つの複素多様体とする。 を正則写像とし、がすべての に対してとなるとすると、 は複素次元の の複素部分多様体である。${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle Y^{m}}$${\displaystyle n>m.}$${\displaystyle g:X\to Y}$${\displaystyle y\in {\text{im}}(g)}$${\displaystyle {\text{rank}}(dg_{x})=m}$${\displaystyle x\in g^{-1}(y).}$${\displaystyle g^{-1}(y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 10000000}$

• ファイバー（数学）  – 関数の定義域内のすべての点の集合で、すべてが特定の単一の点にマッピングされるもの
• レベルセット – 関数の値が等しい関数のドメインの部分集合