スムーズな計画

代数幾何学において、体上の滑らかなスキームとは、任意の点の近くのアフィン空間によってよく近似されるスキームです。滑らかさは、特異点のないスキームの概念を明確にする 1 つの方法です。特殊なケースとして、体上の滑らかな多様体の概念があります。滑らかなスキームは、位相幾何学における 多様体の代数幾何学で役割を果たします。

まず、X を体k上の有限型のアフィンスキームとします。同様に、X は、ある自然数nに対してk上のアフィン空間A ⁿへの閉じた浸漬を持ちます。すると、X は、いくつかの方程式g ₁ = 0, ..., g _r = 0によって定義される閉じたサブスキームになります。ここで、各g _{i は}多項式環k [ x ₁ ,..., x _n ] 内にあります。アフィンスキームX がk上m次元で滑らかであるためには、 X が各点の近傍で少なくともm次元を持ち、導関数の行列 (∂ g _i /∂ x _j ) がX上のどこでも少なくともn − m階数を持つ必要があります。^[1] (したがって、X は各点の近傍でmに等しい次元を持ちます。) 滑らかさは、アフィン空間への Xの浸漬の選択とは無関係です。

導関数行列の条件は、導関数行列のすべての ( n − m ) × ( n − m )個の小行列がゼロであるXの閉部分集合が空集合であることを意味すると理解されます。同様に、すべてのg _iとすべての小行列によって生成される多項式環のイデアルは、多項式環全体です。

幾何学的に言えば、 Xの点pにおける導関数行列 (∂ g _i /∂ x _j ) は線型写像F ⁿ → F ^rを与えます。ここでF はpの留数体です。この写像の核は、pにおけるXのザリスキ接空間と呼ばれます。 Xが滑らかであるということは、ザリスキ接空間の次元が各点の近くでのXの次元に等しいことを意味します。特異点では、ザリスキ接空間は大きくなります。

より一般的には、体k上のスキームXがk上で滑らかであるとは、 Xの各点がk上のある次元の滑らかなアフィン スキームである開近傍を持つ場合です。特に、 k上の滑らかなスキームは局所的に有限型です。

より一般的な概念として、スキームの滑らかな射があります。これは、滑らかなファイバーを持つ射とほぼ同様です。特に、スキームXが体k上で滑らかであるためには、射X → Spec kが滑らかである必要があります。

体上の滑らかなスキームは正則であり、したがって正規です。特に、体上の滑らかなスキームは簡約されます。

体k上の多様体を、 k上の有限型の整分離スキームとして定義します。すると、 k上の有限型の任意の滑らかな分離スキームは、 k上の滑らかな多様体の有限な分離和になります。

複素数上の滑らかな多様体Xに対して、 Xの複素点の空間X ( C ) は、古典的な (ユークリッド) 位相を用いた複素多様体です。同様に、実数上の滑らかな多様体Xに対して、実点の空間X ( R ) は実多様体であり、空である可能性もあります。

体k上で局所的に有限型の任意のスキームXに対して、 X上の微分連接層Ω ¹が存在する。スキームX がk上で滑らかであるための必要十分条件は、 Ω ^{1 が}各点の近くでXの次元に等しいランクのベクトルバンドルである場合である。 ^[2]その場合、 Ω ^{1 は}Xのコタンジェントバンドルと呼ばれる。k上の滑らかなスキームのタンジェントバンドルは、双対バンドルTX = (Ω ¹ ) ^*として定義できます。

滑らかさは幾何学的性質であり、 kの任意の体拡大Eに対して、スキームXがk上で滑らかであるための必要条件は、スキームX _E  := X × _{Spec k} Spec EがE上で滑らかである場合です。完全体kに対して、スキームXがk上で滑らかであるための必要条件は、Xがk上で局所的に有限型であり、Xが正則である場合です。

スキームX がk上のn次元でジェネリック的に滑らかであるとは、X がk上のn次元で滑らかな開稠密部分集合を含む場合を言う。完全体 (特に代数的に閉じた体) 上のあらゆる多様体はジェネリック的に滑らかである。^[3]

• アフィン空間と射影空間は体k上の滑らかなスキームです。
• k上の射影空間P ^{nにおける滑らかな}超曲面の例としては、 kに関して逆行列が成り立つ任意の正の整数dに対してフェルマーの超曲面x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0が挙げられます。
• 体k上の特異な (滑らかでない) スキームの例としては、k上のアフィン直線A ¹の閉じた部分スキームx ² = 0 があります。
• k上の特異（滑らかでない）多様体の例としては、アフィン平面A ^2上の尖点三次曲線x ² = y ³が挙げられます。これは原点（x、y） = (0,0) の外側では滑らかです。
• 体k上の0 次元多様体X は、 X = Spec Eという形式をとります。ここで、Eはkの有限拡大体です。多様体Xがk上で滑らかであるためには、 E がkの可分拡大である必要があります。したがって、 E が k 上で可分でない場合、Xは正則スキームですがk上で滑らかではありません。たとえば、k を素数pに対する有理関数の体F _p ( t ) とし、E = F _p ( t ^{1/ p} ) とすると、 Spec Eはk上の 0 次元多様体であり、これは正則スキームですがk上で滑らかではありません。
• シューベルト多様体は一般に滑らかではありません。

• D. Gaitsgoryの平坦性と滑らかさに関するメモ http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• 松村秀之（1989）『可換環論』、ケンブリッジ高等数学研究（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6、MR  1011461

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