ソボレフマッピング

数学において、ソボレフ写像とは、ある意味で滑らかさを持つ多様体間の写像である。ソボレフ写像は、調和写像の理論を含む変分法や偏微分方程式における多様体制約問題で自然に現れる。

リーマン多様体 とが与えられ、これらはナッシュの滑らかな埋め込み定理により一般性を失うことなく等長的に埋め込まれると仮定される^{[1] [2]} 。1 次 ( ) ソボレフ写像は距離空間のコンテキストでも定義できる。^{[3] [4]}${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\nu }}$ $${\displaystyle W^{s,p}(M,N):=\{u\in W^{s,p}(M,\mathbb {R} ^{\nu })\,\vert \,u(x)\in N{\text{ for almost every }}x\in M\}.}$$${\displaystyle s=1}$

強近似問題は、からへの滑らかな写像がノルム位相に関して稠密であるかどうかを判断することです。 のとき、モーリーの不等式はソボレフ写像が連続的であることを意味し、したがって滑らかな写像で強近似できます。 のとき、ソボレフ写像は平均振動が消失する^[5]ため、滑らかな写像で近似できます。^[6]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle sp>\dim M}$${\displaystyle sp=\dim M}$

のとき、密度の問題は妨害理論と関係している。 がにおいて稠密であるための必要十分条件は、 の-次元三角形分割からへのすべての連続写像がからへの連続写像の制限となることである。^{[7] [2]}${\displaystyle sp<\dim M}$${\displaystyle C^{\infty }(M,N)}$${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

における写像の弱近似の列を見つける問題は、が整数でないときの強近似と同等である。 ^[7]が整数の とき、必要条件は、 の -次元三角分割から へのすべての連続写像の-次元三角分割への制限が、から への連続写像の制限と一致することである。^[2] のとき、この条件は十分である。^[8]の とき、この条件は十分ではない。^[9]${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \lfloor p-1\rfloor }$${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle W^{1,3}(M,\mathbb {S} ^{2})}$${\displaystyle \dim M\geq 4}$

ホモトピー問題は、ノルム位相が与えられた空間のパス連結成分を記述し、分類することから成ります。およびのとき、 のパス連結成分はのパス連結成分と本質的に同じです。 の 2 つの写像が のパスによって連結される場合と のパスによって連結される場合に限り、 の任意のパス連結成分と の任意のパス連結成分は非自明に交差します。^{[10] [11] [12]}の とき、 の 2 つの写像が の連続パスによって連結される場合と の一般的な - 次元三角形分割への制限がホモトピックである場合に限ります。^{[2] : th. 1.1}${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle 0<s\leq 1}$${\displaystyle \dim M\leq sp}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle C(M,N)}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle C(M,N)}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle C(M,N)}$${\displaystyle W^{s,p}(M,N)\cap C(M,N)}$${\displaystyle \dim M>p}$${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$${\displaystyle W^{1,p}(M,N)}$${\displaystyle \lfloor p-1\rfloor }$

古典的なトレース理論によれば、任意のソボレフ写像はトレースを持ち、 のときトレース演算子は全射である。全射性の証明は平均化の議論に基づいているため、結果はソボレフ写像に容易に拡張できない。トレース演算子は、^[13]または が有限でのとき全射であることが知られている。^[14]トレース演算子の全射性は、[13] [15] または が何らかの に対して無限大のときに失敗します^。[ 14 ] [ ^{16 ]}${\displaystyle u\in W^{1,p}(M,N)}$${\displaystyle Tu\in W^{1-1/p,p}(\partial M,N)}$${\displaystyle N=\mathbb {R} }$${\displaystyle \pi _{1}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}}$${\displaystyle p\geq 3}$${\displaystyle \pi _{1}(N)}$${\displaystyle \pi _{2}(N)\simeq \dotsb \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\simeq \{0\}}$${\displaystyle \pi _{\lfloor p-1\rfloor }(N)\not \simeq \{0\}}$ ${\displaystyle \pi _{\ell }(N)}$${\displaystyle \ell \in \{1,\dotsc ,\lfloor p-1\rfloor \}}$

被覆写像 が与えられたとき、リフティング問題は、古典的なリフティング理論で が単連結であるとき、連続または滑らかな の場合のように、任意の写像 が に対してと書けるかどうかを問うものである。領域が単連結であれば、 、^{[17] [18]}およびのとき 、およびの とき、任意の写像がに対してと書ける。 [ ^{19] [18]}がコンパクトで のとき。 ^[20]のとき 、リフティングには位相的な障害があり、 のとき、解析的な障害がある。^{[17] [18]}${\displaystyle \pi :{\tilde {N}}\to N}$${\displaystyle u\in W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle u=\pi \circ {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,{\tilde {N}})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u\in W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle u=\pi \circ {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}\in W^{s,p}(M,N)}$${\displaystyle sp\geq \dim M}$${\displaystyle s\geq 1}$${\displaystyle 2\leq sp<\dim M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 0<s<1}$${\displaystyle 2\leq sp<\dim M}$${\displaystyle sp<2}$${\displaystyle 1\leq sp<\dim M}$

• https://mathoverflow.net/questions/108808/Difference-of-a-sobolev-map-between-manifolds