正弦波

正弦波（記号：∿）は、波形（形状）が三角関数の正弦関数である周期波です。力学では、時間経過に伴う直線運動としては、これは単振動であり、回転運動としては、等速円運動に対応します。正弦波は、風波、音波、単色放射などの光波など、物理学において頻繁に現れます。工学、信号処理、数学では、フーリエ解析によって、一般的な関数が、さまざまな周波数、相対位相、振幅を持つ正弦波の和に分解されます。

同じ周波数（ただし位相は任意）の2つの正弦波を線形結合すると、同じ周波数の別の正弦波が得られます。この性質は周期波の中で唯一無二のものです。逆に、ある位相をゼロ基準として選択すると、任意の位相の正弦波は、位相がゼロと1/4周期の2つの正弦波（それぞれ正弦成分と余弦成分）の線形結合として表すことができます。

音声サンプル

正弦波は高調波を含まない単一の周波数を表し、音響的に純粋な音とみなされます。異なる周波数の正弦波を重ね合わせると、異なる波形が得られます。基本周波数に加えて高調波が存在すると音色に変化が生じ、同じ音高でも楽器によって音が異なって聞こえるのはそのためです。

正弦波状

任意の位相と振幅の正弦波は正弦波と呼ばれ、一般的に次の形式をとります。^{[ 1 ]} $y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )$ ^{[ 2 ]} ここで:

$A$ 振幅とは、関数がゼロからどれだけ大きくずれているかを示す値です。
$t$ 、実際の独立変数であり、通常は秒単位の時間を表します。
$\omega$ , angular frequency, the rate of change of the function argument in units of radians per second.
$f$ , ordinary frequency, the number of oscillations (cycles) that occur each second of time.
$\varphi$ $\varphi$ , phase, specifies (in radians) where in its cycle the oscillation is at t = 0.
- When $\varphi$ is non-zero, the entire waveform appears to be shifted backwards in time by the amount ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$ seconds. A negative value represents a delay, and a positive value represents an advance.
- Adding or subtracting $2π$ (one cycle) to the phase results in an equivalent wave.

As a function of both position and time

The displacement of an undamped spring-mass system oscillating around the equilibrium over time is a sine wave.

Sinusoids that exist in both position and time also have:

a spatial variable $x$ that represents the position on the dimension on which the wave propagates.
a wave number (or angular wave number) $k$ $k$ , which represents the proportionality between the angular frequency $\omega$ $\omega$ and the linear speed (speed of propagation) $v$ $v$ :
- wavenumber is related to the angular frequency by ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ where $\lambda$ (lambda) is the wavelength.

Depending on their direction of travel, they can take the form:

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$ , if the wave is moving to the right, or
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )$ , if the wave is moving to the left.

Since sine waves propagate without changing form in distributed linear systems, they are often used to analyze wave propagation.

Standing waves

When two waves with the same amplitude and frequency traveling in opposite directions superpose each other, then a standing wave pattern is created.

On a plucked string, the superimposing waves are the waves reflected from the fixed endpoints of the string. The string's resonant frequencies are the string's only possible standing waves, which only occur for wavelengths that are twice the string's length (corresponding to the fundamental frequency) and integer divisions of that (corresponding to higher harmonics).

Multiple spatial dimensions

The earlier equation gives the displacement $y$ of the wave at a position $x$ at time $t$ along a single line. This could, for example, be considered the value of a wave along a wire.

In two or three spatial dimensions, the same equation describes a travelling plane wave if position $x$ and wavenumber $k$ これらはベクトルとして解釈され、それらの積は内積として解釈されます。池に石を落とした後の水面波の高さなど、より複雑な波については、より複雑な方程式が必要になります。

正弦平面波

物理学において、正弦波平面波は平面波の特殊なケースであり、その値が時間とある固定面からの距離の正弦関数として変化する場である。また、周波数が一定の単色平面波（単色放射と同様）とも呼ばれる。

フーリエ解析

フランスの数学者ジョゼフ・フーリエは、正弦波を単純な構成要素として重ね合わせることで、方形波を含むあらゆる周期波形を近似できることを発見しました。これらのフーリエ級数は、信号処理や時系列データの統計分析で頻繁に用いられています。その後、フーリエ変換によってフーリエ級数が拡張され、より一般的な関数を扱うことができるようになり、フーリエ解析という分野が誕生しました。

分化と統合

分化

正弦波を時間に関して微分することは、その振幅に角周波数を掛け、それを4分の1周期分進めることと考えることができる。

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

微分器は、複素周波数平面の原点に零点を持ちます。その周波数応答のゲインは、周波数の10倍ごとに+20 dBの割合で増加します（平方根電力の場合）。これは、1^次ハイパスフィルタの阻止帯域と同じ正の傾きですが、微分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありません。n^次ハイパスフィルタは、フィルタのカットオフ周波数よりも周波数帯域が著しく低い信号に対して、n^次時間微分を近似的に適用します。

統合

任意の正弦波を時間に関して積分することは、その振幅を角周波数で割り、それを4分の1サイクル遅らせることと考えることができる。

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

積分定数 $C$ 積分範囲が正弦波の周期の整数倍である場合、値はゼロになります。

積分器は、複素周波数平面の原点に極を持ちます。その周波数応答のゲインは、周波数の10倍ごとに-20 dBの割合で減少します（平方根電力の場合）。これは、1^次ローパスフィルタの阻止帯域と同じ負の傾きですが、積分器にはカットオフ周波数や平坦な通過帯域はありません。n^次ローパスフィルタは、フィルタのカットオフ周波数よりもかなり高い周波数帯域を持つ信号のn^{次時間積分を近似的に実行します。}

参考文献

↑スミス、ジュリアス・オリオン。「正弦波」。ccrma.stanford.edu 。 2024年1月5日取得。
↑ 「1.2: 正弦波」 . Physics LibreTexts . 2021-02-21 . 2026-03-16に取得。

外部リンク

「正弦波」 .数学の謎. 2021-11-17 . 2022-09-30に取得.

[1] スミス、ジュリアス・オリオン。「正弦波」。ccrma.stanford.edu 。 2024年1月5日取得。

[2] 「1.2: 正弦波」 . Physics LibreTexts . 2021-02-21 . 2026-03-16に取得。

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