積分限界

微積分と数学解析において、積分の積分範囲（または積分境界）は$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$

リーマン積分可能な関数の${\displaystyle f}$閉区間かつ有界区間で定義されるのは実数である。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$その中で${\displaystyle a}$下限と呼ばれ、${\displaystyle b}$上限。境界で囲まれた領域は、その内側の領域と見なすことができます。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$。

例えば、関数${\displaystyle f(x)=x^{3}}$区間上で定義される${\displaystyle [2,4]}$$${\displaystyle \int _{2}^{4}x^{3}\,dx}$$ 統合の限界は${\displaystyle 2}$そして${\displaystyle 4}$[ ^{1 ]​}

置換積分では、積分される新しい関数によって積分範囲が変わります。導出される関数では、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$解決済み${\displaystyle f(u)}$。 一般的に、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))g'(x)\ dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$ どこ${\displaystyle u=g(x)}$そして${\displaystyle du=g'(x)\ dx}$。 したがって、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$解決される${\displaystyle u}$下限は${\displaystyle g(a)}$そして上限は${\displaystyle g(b)}$。

例えば、 $${\displaystyle \int _{0}^{2}2x\cos(x^{2})dx=\int _{0}^{4}\cos(u)\,du}$$

どこ$u=x^2$そして${\displaystyle du=2xdx}$。 したがって、${\displaystyle f(0)=0^{2}=0}$そして${\displaystyle f(2)=2^{2}=4}$したがって、新しい積分限界は次のようになる。${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 4}$[ ^{2 ]​}

他の置換についても同様です。

広義積分についても積分範囲を定義することができ、両方の積分範囲は $${\displaystyle \lim _{z\to a^{+}}\int _{z}^{b}f(x)\,dx}$$ そして $${\displaystyle \lim _{z\to b^{-}}\int _{a}^{z}f(x)\,dx}$$ ここでも、aとbは、広義積分の場合、$${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx}$$ または $${\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx}$$ 積分範囲はそれぞれaと ∞、または− ∞ とbである。^{[ 3 ]}

もし${\displaystyle c\in (a,b)}$、それから^{[ 4 ]}$$\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\ dx=\int _{a}^{c}f(x)\ dx\ +\int _{c}^{b}f(x)\ dx.}$$

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• リーマン積分
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