差別化要因

電子工学において、微分器は入力信号の変化率（時間に関する導関数）にほぼ比例する信号を出力する回路です。正弦波の導関数は、振幅がその周波数で乗算された別の正弦波であるため、すべての周波数で機能する真の微分器は実現できません（周波数が増加するとゲインが無制限に増加するため）。1次^ハイパスフィルタなどの実際の回路では、カットオフ周波数より上のゲインを制限することで、より低い周波数での微分を近似することができます。能動微分器には増幅器が含まれ、受動微分器は抵抗器、コンデンサ、インダクタのみで構成されます。

図に示す4端子の1^次パッシブ ハイパス フィルタ回路は、抵抗器とコンデンサ、または抵抗器とインダクタで構成されており、各フィルタのカットオフ周波数よりはるかに低い周波数で微分を近似するため、微分器と呼ばれます。

オームの法則によれば、容量性微分器の両端の電圧は次の伝達関数（原点にゼロ、に極を持つ）によって関係付けられます。 ${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}}$

${\displaystyle Y={\frac {Z_{R}}{Z_{R}+Z_{C}}}X={\frac {R}{R+{\frac {1}{sC}}}}X={\frac {sRC}{1+sRC}}X\implies Y\approx sRCX\quad {\text{for}}\ |s|\ll {\frac {1}{RC}}}$

これは、ヘルツ単位またはラジアン単位のフィルタのカットオフ周波数よりはるかに低い周波数における理想的な微分器の良い近似値です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\pi RC}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{RC}}}$

同様に、誘導性微分器の伝達関数は原点にゼロ、 に極を持ち、これはヘルツまたはラジアン のカットオフ周波数に対応します。${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}R}{L}}}$${\displaystyle {\tfrac {R}{2\pi L}}}$${\displaystyle {\tfrac {R}{L}}}$

微分回路（微分増幅器または反転微分器とも呼ばれる）は、負帰還を提供する抵抗器Rと入力の コンデンサCを備えた理想的なオペアンプで構成され、次のようになります。

• ${\displaystyle V_{\text{in}}}$C両端の電圧（オペアンプの仮想接地負端子から）です。
• ${\displaystyle V_{\text{out}}}$R両端の電圧です(オペアンプの仮想接地負端子からの電圧でもあります)。
• ${\displaystyle I}$入力からRとC の両方を経由して回路の出力に 流れる電流です。
  • 理想的なオペアンプの入力は入力インピーダンスが非常に高い ため、入力に電流は流れません。

コンデンサの電流と電圧の関係によれば、入力からコンデンサを通って仮想グランドに流れるこの電流は、入力電圧の微分に比例します。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I=C\,{\frac {dV_{\text{in}}}{dt}}\,.}$

この同じ電流は、オームの法則に従って、仮想グランドから抵抗器を通って出力に伝わるときに電圧に変換されます。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle 0-V_{\text{out}}=IR\,.}$

コンデンサの方程式を挿入すると、出力電圧は入力電圧の関数として得られます。 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle V_{\text{out}}=-RC{\frac {dV_{\text{in}}}{dt}}.}$

その結果、

• 出力電圧は、ゲインを持つ入力電圧の時間微分に比例します。したがって、回路は微分器と増幅器として機能します。${\displaystyle RC.}$
• 負の符号は、出力が入力に対して180°位相シフト(反転) していることを示します。
• この式は、理想的なオペアンプを前提とすると、あらゆる周波数信号に当てはまります (ただし、実際のオペアンプの帯域幅は限られています)。

オペアンプの低インピーダンス出力は後続のステージの負荷を分離するため、この回路は負荷に関係なく同じ応答を示します。

一定の DC 電圧を入力として印加すると、出力電圧はゼロになります。入力電圧がゼロから負に変化すると、出力電圧は正になります。印加された入力電圧がゼロから正に変化すると、出力電圧は負になります。微分器に方形波入力を印加すると、出力にスパイク波形が得られます。

コンデンサを容量性リアクタンスX _c = ⁠を持つインピーダンスとして扱う1/2πfC​⁠ は、微分器をハイパスフィルタとして分析することを可能にします。周波数に反比例するということは、低周波数ではコンデンサのリアクタンスが高く、高周波数ではリアクタンスが低いことを意味します。フィードバック構成は、⁠のゲインを提供するので、Rf_​/Xc_​つまり、低周波数（または入力の変化が遅い場合）ではゲインが低く、高周波数（または入力の変化が速い場合）ではゲインが高くなります。

理想的な微分器の伝達関数は であり、その結果、その振幅のボード線図はすべての周波数にわたって10倍あたり+20 dBの正の傾斜を持ち、次の周波数で単位利得を持ちます。${\displaystyle {\tfrac {V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}}={\text{-}}sRC}$${\displaystyle f_{\text{0dB}}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC}}\,.}$

入力信号の微分化を引き起こすには、小さな時定数で十分です。

高周波の場合:

• この単純な微分回路は不安定になり、振動し始めます。
• 回路は高周波ノイズに敏感になり、増幅されると入力信号を支配するようになります。
• 実際のオペアンプの利得帯域幅積は限られているため、微分化の上限周波数が制限される。

理想的な微分器の限界を克服するために、追加の小さな値のコンデンサC _{1がフィードバック抵抗器}Rと並列に接続され、微分器回路の振動を防ぎ、抵抗器R _{1がコンデンサ}Cと直列に接続され、ゲインの増加を⁠の比率に制限します。R/1_位⁠ .

抵抗器R を介して負帰還が存在するため、仮想接地の概念を適用できます。つまり、反転端子の電圧は非反転端子の電圧と同じ 0 ボルトになります。

節点解析を適用すると、

${\displaystyle {\frac {0-V_{o}}{R}}+{\frac {0-V_{o}}{\frac {1}{sC_{1}}}}+{\frac {0 -V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}=0,}$

${\displaystyle -V_{o}\left({\frac {1}{R}}+sC_{1}\right)={\frac {V_{i}}{R_{1}+{\frac {1}{sC}}}}.}}$

したがって、

${\displaystyle {\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {-sRC}{(1+sR_{1}C)(1+sRC_{1})}}.}$

したがって、 に 1 つの零点、 に 1 つの極(コーナー周波数 に対応)、 に別の極(コーナー周波数 に対応)が発生します。 ${\displaystyle s{=}0}$${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{R_{1}C}}}$${\displaystyle f_{1}{=}{\tfrac {1}{2\pi R_{1}C}}}$${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC_{1}}}}$${\displaystyle f_{2}{=}{\tfrac {1}{2\pi RC_{1}}}}$

この実用的な微分器の周波数応答は、微分用の周波数帯域にわたって 10 倍あたり +20 dB の傾斜を持つバンドパス フィルタです。およびで正規化されたボード線図は次のようになります。 ${\displaystyle R_{1}C{=}10^{1}}$${\displaystyle RC_{1}{=}10^{{\text{-}}1}}$

上記のグラフから、次のことがわかります。

• 以下では、回路は減衰し、微分器として機能します。${\displaystyle \omega _{1}}$
• との間では、回路は電圧フォロワまたはバッファとして機能します。${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$
• 上記では、回路は減衰し、積分器として機能します。${\displaystyle \omega _{2}}$

を設定すると、に 1 つのゼロ点、 に 2 つの極( の 1 つのコーナー周波数に対応)が生成され、次の周波数応答 ( を使用して正規化) が得られます。 ${\displaystyle RC_{1}{=}R_{1}C{=}RC}$${\displaystyle s{=}0}$${\displaystyle s{=}{\tfrac {{\text{-}}1}{RC}}}$${\displaystyle \omega _{1}{=}{\tfrac {1}{RC}}}$${\displaystyle RC{=}1}$

上記のグラフから、次のことがわかります。

• 以下では、回路は微分器として機能します。${\displaystyle \omega _{1}}$
• 上記では、回路は積分器として機能します。${\displaystyle \omega _{1}}$

微分器回路は、本質的にはハイパス フィルタです。三角波入力から方形波を生成し、方形波が適用されると、交互方向の電圧スパイクを生成できます。理想的な場合、微分器は波形に対する積分器の効果を反転し、その逆も同様です。したがって、微分器は、入力信号の高周波成分を検出する波形整形回路で最も一般的に使用されます。微分器は、電子アナログ コンピュータやアナログPID コントローラの重要な部分です。また、周波数変調器の変化率検出器として も使用されます。

受動微分回路は基本的な電子回路の一つであり、等価回路法に基づく回路解析で広く使用されています。

• インテグレーター
• オペアンプアプリケーションにおける反転微分器