正弦波

正弦波（記号：∿）は、波形（形状）が三角関数の正弦関数である周期波です。力学では、時間経過に伴う直線運動としては、これは単振動であり、回転運動としては、等速円運動に対応します。正弦波は、風波、音波、単色放射などの光波など、物理学において頻繁に現れます。工学、信号処理、数学では、フーリエ解析によって、一般的な関数が、さまざまな周波数、相対位相、振幅を持つ正弦波の和に分解されます。

同じ周波数（ただし位相は任意）の2つの正弦波を線形結合すると、同じ周波数の別の正弦波が得られます。この性質は周期波の中で唯一無二のものです。逆に、ある位相をゼロ基準として選択すると、任意の位相の正弦波は、位相がゼロと1/4周期の2つの正弦波（それぞれ正弦成分と余弦成分）の線形結合として表すことができます。

正弦波は高調波を含まない単一の周波数を表し、音響的に純粋な音とみなされます。異なる周波数の正弦波を重ね合わせると、異なる波形が得られます。基本周波数に加えて高調波が存在すると音色に変化が生じ、同じ音高でも楽器によって音が異なって聞こえるのはそのためです。

任意の位相と振幅の正弦波は正弦波と呼ばれ、一般的に次の形式をとります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )}$$^{[ 2 ]} ここで:

• ${\displaystyle A}$振幅とは、関数のゼロからのピーク偏差のことです。
• ${\displaystyle t}$、実際の独立変数であり、通常は秒単位の時間を表します。
• ${\displaystyle \omega }$角周波数、関数引数の変化率（単位はラジアン/秒）。
• ${\displaystyle f}$通常の周波数とは、1秒間に発生する振動（サイクル）の数のことです。
• ${\displaystyle \varphi }$、phase は、その周期のどの時点で振動がt = 0 になるかをラジアン単位で指定します。
  • いつ${\displaystyle \varphi }$がゼロでない場合、波形全体が時間的に だけ逆方向にシフトしているように見える。${\displaystyle {\tfrac {\varphi }{\omega }}}$秒単位。負の値は遅延を、正の値は前進を表します。
  • 足し算または引き算$2π$（1サイクル）位相が等価な波を生み出す。

位置と時間の両方に存在する正弦波には、以下の特徴もあります。

• 空間変数${\displaystyle x}$それは、波が伝播する次元上の位置を表す。
• 波数（または角波数）${\displaystyle k}$これは角周波数間の比例関係を表しています${\displaystyle \omega }$そして線速度（伝搬速度）${\displaystyle v}$:
  • 波数と角周波数の関係は次の通りである。${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$どこ${\displaystyle \lambda }$（ラムダ）は波長です。

移動方向によって、それらは次のような形態をとることができます。

• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )}$波が右に移動している場合、または
• ${\displaystyle y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )}$波が左方向に移動している場合。

正弦波は分布線形システムにおいて形状を変えずに伝播するため、波動伝播の解析によく用いられる。

フランスの数学者ジョゼフ・フーリエは、正弦波を単純な構成要素として重ね合わせることで、方形波を含むあらゆる周期波形を近似できることを発見しました。これらのフーリエ級数は、信号処理や時系列データの統計分析で頻繁に用いられています。その後、フーリエ変換によってフーリエ級数が拡張され、より一般的な関数を扱うことができるようになり、フーリエ解析という分野が誕生しました。

• 「正弦波」 .数学の謎. 2021-11-17 . 2022-09-30に取得.