ディンキン図

数学のリー理論の分野において、ユージン・ディンキンにちなんで名付けられたディンキン図は、一部の辺が二重または三重になっている（二重線または三重線で描かれている）グラフの一種である。ディンキン図は、代数的に閉体上の半単純リー代数の分類、ワイル群やその他の有限反射群の分類、およびその他の文脈で生じる。ディンキン図のさまざまな特性（複数の辺を含むかどうか、対称性など）は、関連するリー代数の重要な特徴に対応している。

「ディンキン図」という用語は曖昧になることがあります。場合によっては、ディンキン図は有向であると想定され、その場合はルート系と半単純リー代数に対応しますが、他の場合には無向であると想定され、その場合はワイル群に対応します。この記事では、「ディンキン図」は有向ディンキン図を意味し、無向ディンキン図には明示的にそのように命名します。

ディンキン図の根本的な興味は、代数的に閉じた体上の半単純リー代数を分類することです。そのようなリー代数は、ディンキン図で表すことができるルート システムによって分類されます。次に、以下で説明するように、満たさなければならない制約に従ってディンキン図を分類します。

グラフのエッジの方向を削除することは、ルート システムをそれが生成する有限反射グループ、いわゆるワイル グループに置き換えることに対応し、したがって無向ディンキン図はワイル グループを分類します。

複素数上の古典群に関連付けられたリー代数に対して、次の対応関係があります。

• ${\displaystyle A_{n}}$: 、特殊線型リー代数。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1}}$
• ${\displaystyle B_{n}}$: 、奇数次元の特殊直交リー代数。${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1}}$
• ${\displaystyle C_{n}}$: 、シンプレクティックリー代数。${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}}$
• ${\displaystyle D_{n}}$: 、偶数次元の特殊直交リー代数( )。${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n}}$${\displaystyle n>1}$

例外的な群の場合、リー代数と関連するディンキン図の名前は一致します。

ディンキン図は、多くの異なる関連オブジェクトを分類するものとして解釈することができ、コンテキストに応じて「A _n、B _n 、...」という表記がそのようなすべての解釈を指すために使用されます。この曖昧さは混乱を招く可能性があります。

中心的な分類は、単純なリー代数がルート系を持ち、それに（有向）ディンキン図が関連付けられているというものです。これら 3 つすべてを、たとえば B _{nと呼ぶことがあります。}

非向き付けディンキン図はコクセター図の一種で、ルート系に関連付けられた有限反射群であるワイル群に対応します。したがって、B _{n は}、非向き付け図（コクセター図の特殊な種類）、ワイル群（具体的な反射群）、または抽象的なコクセター群を指す場合があります。

ワイル群は抽象的にはコクセター群と同型であるが、具体的な同型性は単純根の順序付けられた選択に依存する。同様に、ディンキン図の表記は標準化されているが、コクセター図と群の表記は多様であり、ディンキン図の表記と一致する場合もあれば、一致しない場合もある。^[要出典]

最後に、関連付けられたオブジェクトが同じ表記法で参照されること もありますが、常にこれが定期的に行われるとは限りません。例を次に示します。

• E ₈格子のように、ルートシステムによって生成されるルート格子。これは自然に定義されますが、1対1ではありません。たとえば、A ₂と G _{2 はどちらも}六角形格子を生成します。
• 関連する多面体、たとえばゴセット 4 ₂₁多面体は、その頂点が E ₈ルート システムから派生し、対称群として E ₈コクセター グループを持つため、 「E ₈多面体」と呼ばれることがあります。
• 関連する二次形式または多様体 - たとえば、E ₈多様体は、 E _{8格子によって与えられる}交差形式を持ちます。

後者の表記法は主に例外的な図に関連付けられたオブジェクトに使用されます。通常の図 (A、B、C、D) に関連付けられたオブジェクトには、代わりに従来の名前が付けられます。

インデックス ( n ) は、図のノードの数、基底の単純ルートの数、ルート格子の次元とルート システムの範囲、コクセター群の生成元の数、およびリー代数の階数に等しくなります。ただし、n はリー代数の定義モジュール (基本表現)の次元とは等しくありません。つまり、ディンキン図のインデックスをリー代数のインデックスと混同しないでください。たとえば、は に対応し、これは当然 9 次元空間に作用しますが、リー代数としての階数は 4 です。 ${\displaystyle B_{4}}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2\cdot 4+1}={\mathfrak {so}}_{9},}$

単純に組み合わせたディンキン図、つまり多重辺を持たない図 (A、D、E) は、さらに多くの数学的オブジェクトを分類します。ADE分類の説明を参照してください。

たとえば、シンボルは次のことを指します。 ${\displaystyle A_{2}}$

• 2つの接続されたノードを持つディンキン図、これはCoxeter 図として解釈することもできます。
• 2 つの単純根が (120 度の) 角度で存在する根系。${\displaystyle 2\pi /3}$
• 2階のリー代数 。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2+1}={\mathfrak {sl}}_{3}}$
• 根の対称性のワイル群（根に直交する超平面の反射）。対称群 （位数 6）と同型。${\displaystyle S_{3}}$
• 生成子と関係によって表される抽象コクセター群は、${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2}\mid (r_{1})^{2}=(r_{2})^{2}=(r_{i}r_{j})^{3}=1\right\rangle .}$

簡約かつ整式（または「結晶学的」）であると仮定したルート系を考えてみましょう。多くのアプリケーションでは、このルート系は半単純リー代数から生じます。 を正の単純ルートの集合とします。次に、次のようにして から図を作成します。^[1]の各要素に対して 1 つの頂点を持つグラフを形成します。次に、次のレシピに従って各頂点ペアの間に辺を挿入します。2 つの頂点に対応するルートが直交する場合、頂点間に辺はありません。2 つのルートの間の角度が 120 度の場合、頂点間に 1 つの辺を配置します。角度が 135 度の場合は 2 つの辺を配置し、角度が 150 度の場合は 3 つの辺を配置します。 (これら 4 つのケースで、正の単純根のペア間の角度の可能なすべてについて検討します。^[2] ) 最後に、頂点のペア間に辺がある場合は、長い方の根に対応する頂点から短い方の根に対応する頂点を指す矢印でそれらを装飾します。(根の長さが同じ場合は矢印を省略します。) 矢印を「より大きい」記号と考えると、矢印がどの方向を指すかが明確になります。 ディンキン図により、ルート システムの分類が可能になります。根間の角度と長さの比は関連しています。^[3]したがって、非直交根の辺は、長さの比が 1 の場合は 1 つの辺、長さの比が の場合は 2 つの辺、長さの比が の場合は 3 つの辺として記述することもできます。(根が直交している場合は、長さの比に関係なく、辺はありません。) ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

右に示すルート システムでは、 と というラベルの付いたルートが基底を形成します。これら 2 つのルートの角度は 120 度 (長さの比は 1) であるため、Dynkin 図は 1 つの辺で接続された 2 つの頂点で構成されます。${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$。

ディンキン図は特定の制約を満たす必要があります。これらは本質的に有限コクセター・ディンキン図が満たす制約に、追加の結晶学的制約を加えたものです。

ディンキン図は有限コクセター群のコクセター図と密接に関連しており、用語が混同されることが多い。^{[注 1]}

ディンキン図は有限群のコクセター図とは 2 つの重要な点で異なります。

部分的に監督

Dynkin ダイアグラムは部分的に有向です。つまり、複数のエッジ (Coxeter の用語では、「4」以上のラベルが付けられている) には方向 (1 つのノードから別のノードを指す矢印) があります。したがって、Dynkin ダイアグラムには、基礎となる Coxeter ダイアグラム (無向グラフ) よりも多くのデータがあります。

ルート システムのレベルでは、方向は短いベクトルを指すことに対応します。対応するベクトルの長さは等しくなければならないため、「3」とラベル付けされたエッジには方向がありません。(注意: 一部の著者はこの規則を逆にして、矢印が長いベクトルを指すようにしています。)

結晶学的制約

Dynkin 図は追加の制約、つまり許容されるエッジ ラベルは 2、3、4、6 のみである、という制約を満たす必要があります。この制約は Coxeter 図には適用されないため、有限群のすべての Coxeter 図が Dynkin 図から得られるわけではありません。

ルートシステムのレベルでは、ルートが格子を形成するため、これは結晶学的制限定理に対応します。

さらに、単なるスタイル上の相違点として、ディンキン図では、通常、ノード間に「 p 」というラベルの付いたエッジではなく、2 重または 3 重のエッジ ( p  = 4、6 の場合) を使用して描画される点が挙げられます。

「Dynkin 図」という用語は、有向グラフを指す場合もあれば、無向グラフを指す場合もあります。正確を期すために、この記事では「Dynkin 図」は有向グラフを意味し、基礎となる無向グラフは「無向 Dynkin 図」と呼ばれます。Dynkin 図と Coxeter 図は次のように関連していると考えられます。

これは、有限群のコクセター図が反射によって生成される点群に対応するのに対し、ディンキン図は結晶学的制限定理に対応する追加の制限を満たす必要があり、コクセター図は無向であるのに対し、ディンキン図は（部分的に）有向であることを意味します。

図によって分類される対応する数学的対象は次のとおりです。

右上の空白は、任意の Coxeter 図 (有限群) を基礎とする無向グラフを持つ有向グラフに対応しており、正式に定義できますが、あまり議論されておらず、興味のある数学的オブジェクトの観点から単純な解釈ができないようです。

下向きの自然な写像（ディンキン図から無向ディンキン図へ、ルート系から関連するワイル群へ）と、右向きの自然な写像（無向ディンキン図からコクセター図へ、ワイル群から有限コクセター群へ）があります。

下写像は（定義により）全射であるが、一対一ではない。これは、 B _n図とC _n図が同じ無向図に写像されるためであり、結果として得られるコクセター図とワイル群はBC _nと表記されることもある。

右写像は単なる包含写像です。無向ディンキン図はコクセター図の特殊ケースであり、ワイル群は有限コクセター群の特殊ケースです。また、すべてのコクセター図が無向ディンキン図ではないため（見逃されている図は、p  = 5  p ≥ 7 の場合のH ₃、H _{4 、}およびI ₂ ( p )です ）、右写像は全射ではありません。同様に、すべての有限コクセター群がワイル群であるわけではありません。

ディンキン図には、リストが冗長にならないように、慣例的に番号が付けられています。 については についてはで、から始まり、 ただし、より小さいnに対しても族を定義することができ、図の例外的な同型、および対応するリー代数と関連するリー群の例外的な同型が生成されます。 ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle D_{n},}$${\displaystyle E_{n}}$${\displaystyle n=6.}$

当然のことながら、またはから族を開始できます。この場合、一意の空の図と一意の 1 ノード図が存在するため、すべて同型です。連結された Dynkin 図の他の同型は次のとおりです。 ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n=1,}$

• ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$
• ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$
• ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$
• ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$
• ${\displaystyle E_{3}\cong A_{1}\times A_{2}}$
• ${\displaystyle E_{4}\cong A_{4}}$
• ${\displaystyle E_{5}\cong D_{5}}$

これらの同型は単純および半単純リー代数の同型に対応し、これらのリー群形式の特定の同型にも対応する。また、E _n族に文脈を追加する。^[4]

異なる図式間の同型性に加えて、いくつかの図式は自己同型性または「自己同型」も持つ。図式自己同型はリー代数の外部自己同型に対応しており、外部自己同型群 Out = Aut/Inn は図式自己同型の群に等しいことを意味する。^{[5] [6] [7]}

非自明な自己同型を持つ図は、 A _n ( )、 D _n ( )、および E _{6です。 D 4}を除くこれらすべての場合、単一の非自明な自己同型 (Out = C ₂、位数 2 の巡回群) がありますが、 D ₄の場合、自己同型群は3 つの文字の対称群( S ₃、位数 6) です。この現象は「三元性」として知られています。これらすべての図の自己同型は、平面上で図が従来どのように描かれるかというユークリッド対称性として実現できますが、これは単にそれらの描き方による結果であり、固有の構造ではありません。 ${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n>1}$

A _nの場合、図式自己同型は直線である図式を反転したものである。図式のノードは基本的な重みを表し、これは (A _{n −1}の場合)に対してであり、図式自己同型は双対性 に対応している。リー代数として実現すると、外部自己同型は負の転置 として表現することができ、これが双対表現の働きである。^[6]${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}}$${\displaystyle i=1,\dots ,n}$${\displaystyle \bigwedge ^{i}C^{n}\mapsto \bigwedge ^{n-i}C^{n}.}$${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n+1},}$${\displaystyle T\mapsto -T^{\mathrm {T} }}$

D _nの場合、図の自己同型は Y の端にある 2 つのノードを切り替えることで、2 つのカイラル スピン表現を切り替えることに対応します。リー代数として実現すると、外部自己同型は、行列式が −1 であるO (2 n )の行列による共役として表現できます。n = 3 のとき、となり、それらの自己同型は一致しますが、は切断され、自己同型は 2 つのノードを切り替えることに対応します。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$${\displaystyle \mathrm {D} _{3}\cong \mathrm {A} _{3},}$${\displaystyle \mathrm {D} _{2}\cong \mathrm {A} _{1}\times \mathrm {A} _{1}}$

D ₄の場合、基本表現は2 つのスピン表現と同型であり、結果として得られる3 文字の対称群( S ₃、または6 次二面体群Dih ₃ ) は、リー代数の自己同型と図の自己同型の両方に対応します。

_E6の自己同型群は図を逆にしたものに相当し、ジョルダン代数を使って表現できる。^{[6] [8]}

半単純リー代数に対応する不連続図式は、図式の要素を交換することで自己同型性を持つ場合があります。

正特性には、追加の「ダイアグラム自己同型」があります。大まかに言えば、特性pでは、ダイアグラム自己同型を取るときに、ディンキン図の多重度pの結合上の矢印を無視することが許可される場合があります。したがって、特性 2 には、および F ₄の2 次自己同型があり、特性 3 には、 G ₂の 2 次自己同型があります。ただし、すべての状況に当てはまるわけではありません。たとえば、このような自己同型は、対応する代数群の自己同型として発生する必要はなく、有限体で評価される点のレベルで発生する必要があります。 ${\displaystyle \mathrm {B} _{2}\cong \mathrm {C} _{2}}$

図の自己同型は、追加のリー群とリー型の群をもたらし、これらは有限単純群の分類において中心的な重要性を持ちます。

リー群のディンキン図によるシュヴァレー群構成では、いくつかの古典的な群、すなわちユニタリ群と非分割直交群は生成されない。スタインバーグ群はユニタリ群² A _{n を}^{構成し、他の直交群は2} D _nとして構成される。どちらの場合も、図式自己同型と体自己同型を組み合わせることを意味する。これにより、追加のエキゾチックなリー群² E ₆と³ D ₄も生成されるが、後者は位数 3 の自己同型を持つ体上でのみ定義される。

正特性における追加のダイアグラム自己同型は、鈴木–リー群、² B _2、2 ^F ₄、および² G ₂を生成します。

対称性（以下の1つの条件を満たす）を持つ（単純に接続された）ディンキン図（有限またはアフィン）は、その対称性で割ることができ、新しい、一般に多重に接続された図を生成し、このプロセスは折り畳みと呼ばれます（ほとんどの対称性は2重であるため）。リー代数のレベルでは、これは不変部分代数を外部自己同型群の下で取ることに相当し、プロセスは図を使用せずにルートシステムを参照して純粋に定義できます。^[9]さらに、多重に接続された図（有限または無限）はすべて、単純に接続された図を折り畳むことで取得できます。^[10]

折り畳みが可能になるための自己同型性の唯一の条件は、同じ軌道（自己同型性の下で）のグラフの異なるノードがエッジで接続されてはならないということである。ルートシステムのレベルでは、同じ軌道のルートは直交している必要がある。^[10]図のレベルでは、そうでないと、2つのノードを識別するがそれらの間にエッジがあるために商図にループが発生し、ループはディンキン図では許可されないため、これが必要である。

商（「折り畳まれた」）図のノードとエッジは、元の図のノードとエッジの軌道です。2 つの入射エッジが同じエッジにマップされない限り（特に、価数が 2 より大きいノード）、エッジは 1 つだけです。これはマップの「分岐点」で、この場合、重みは入射エッジの数になり、矢印はそれらが入射するノードを指します。つまり、「分岐点は非同次点にマップされます」。たとえば、D _{4 をG 2}に折り畳む場合、G ₂のエッジは、3 つの外側のノードのクラス（価数 1）から中央のノードのクラス（価数 3）を指します。

有限図形の折り畳みは以下の通りである: ^{[11] [注 2]}

• ${\displaystyle A_{2n-1}\to C_{n}}$

_{(A 2 n}の自己同型では、中央の 2 つのノードがエッジで接続されていますが、同じ軌道上にあるため、折り畳みは生成されません。)

• ${\displaystyle D_{n+1}\to B_{n}}$
• ${\displaystyle D_{4}\to G_{2}}$（完全な群または3サイクルで商をとる場合、さらに3つの異なる方法で、反転で商をとる場合）${\displaystyle D_{4}\to B_{3}}$
• ${\displaystyle E_{6}\to F_{4}}$

アフィン図にも同様の折り畳みが存在します。

• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2n-1}\to {\tilde {C}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{n+1}\to {\tilde {B}}_{n}}$
• ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}\to {\tilde {G}}_{2}}$
• ${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}\to {\tilde {F}}_{4}}$

折り畳みの概念は、より一般的にはコクセター図にも適用できます^[12]。特に、ディンキン図の許容商をH _nとI ₂ ( p ) に一般化できます。幾何学的には、これは一様多面体の射影に対応します。特に、単純にひもで結ばれたディンキン図はI ₂ ( h )に折り畳むことができ、 hはコクセター数で、幾何学的にはコクセター平面への射影に対応します。

折り畳みは、（半単純）リー代数に関する質問を、自己同型とともに、多重に折り畳まれた代数を直接扱うよりも簡単な場合がある、単純折り畳みリー代数に関する質問に簡略化するために適用できます。これは、たとえば、半単純リー代数の構築で行うことができます。詳細については、Math Overflow: Folding by Automorphisms を参照してください。

以下に詳述するように、いくつかの追加の図のマップには意味のある解釈があります。ただし、ルートシステムのすべてのマップが図のマップとして発生するわけではありません。^[13]

たとえば、 A ₂のルート系は、6 つの長いルートまたは 6 つの短いルートとしてG _{2に 2 回含まれています。ただし、 G 2図のノードは 1 つの長いルートと 1 つの短いルートに対応しているのに対し、 A 2}図のノードは同じ長さのルートに対応しているため、このルート系のマップは、図のマップとして表現することはできません。

ルート システムの包含は、あるダイアグラムが別のダイアグラムの誘導サブグラフ、つまり「すべてのエッジがノード間にあるノードのサブセット」として表現できる場合があります。これは、ディンキン ダイアグラムからノー​​ドを削除すると、ルート システムから単純なルートが削除され、ランクが 1 つ低いルート システムが生成されるためです。対照的に、ノードを変更せずにエッジを削除する (またはエッジの多重度を変更する) と、ルート間の角度が変わることになり、ルート システム全体を変更せずには実行できません。したがって、ノードを意味のある形で削除することはできますが、エッジを削除することは不可能です。接続されたダイアグラムからノー​​ドを削除すると、ノードがリーフの場合は接続されたダイアグラム (単純なリー代数) が生成され、2 つまたは 3 つのコンポーネント (後者は D _nと E _nの場合) を持つ切断されたダイアグラム (半単純だが単純ではないリー代数) が生成されます。リー代数のレベルでは、これらの包含は部分リー代数に対応します。

最大サブグラフは次のとおりです。図の自己同型によって関連付けられるサブグラフは「共役」とラベル付けされます。

• A _{n +1} : A _n、2つの共役な方法で。
• Bn ₊ 1 : _An、_{Bn 。}
• C _{n +1} :A _n、C _n。
• D _{n +1} : A _n (2つの共役な方法)、D _n。
• E _{n +1} : A _n、 D _n、 E _n。
  • E ₆の場合、これらのうち 2 つは一致し、共役です。${\displaystyle \mathrm {D} _{5}\cong \mathrm {E} _{5}}$
• F ₄ : B ₃、 C ₃。
• G ₂ : A ₁、2つの非共役な方法（長いルートまたは短いルートとして）。

最後に、図の双対性は、矢印の方向を反転することに対応します。^[13] BnとCn_は双対ですが、F4_とG2_は自己双対であり、単純に結んだADE図も同様です。

多重辺のないディンキン図は、対応するリー代数やリー群と同様に、単にレース付きと呼ばれます。これらは図であり、そのような図が分類する現象はADE 分類と呼ばれます。この場合、多重辺がないため、ディンキン図はコクセター図と正確に一致します。 ${\displaystyle A_{n},D_{n},E_{n}}$

ディンキン図は、複素半単純リー代数を分類します。実半単純リー代数は、複素半単純リー代数の実数形式として分類でき、サタケ図によって分類されます。サタケ図は、ディンキン図から、いくつかの頂点を黒（塗りつぶし）でラベル付けし、他のいくつかの頂点を矢印でペアにして特定の規則に従って接続することで得られます。

ディンキン図はユージン・ディンキンにちなんで名付けられました。彼は半単純リー代数の分類を簡略化する2つの論文（1946年、1947年）でこの図を使用しました。 ^[14] (Dynkin 2000) を参照してください。1976年にディンキンがソ連を去ったとき（当時は反逆罪に等しいとみなされていました）、ソ連の数学者は彼の名前を使うのではなく「単純根の図」を参照するように指示されました。^[要出典]

無向グラフは、以前にコクセター（1934）が反射群を分類するために使用しており、ノードは単純な反射に対応していました。その後、ウィット（1941）が（長さ情報とともに）ルートシステムを参照するためにグラフを使用し、ノードは今日使用されているように単純なルートに対応しました。^{[14] [15]}その後、ディンキンは1946年と1947年にそれらを使用し、1947年の論文でコクセターとウィットに謝辞を述べました。

ディンキン図は様々な方法で描かれてきた。^[15]ここで採用されている慣例は一般的で、価数2のノードには180°の角度、価数3のノードには120°の角度、価数3のノードには90°/90°/180°の角度があり_、重複_度は1、2、または3本の平行辺で示され、ルートの長さは方向を示す矢印を辺に描くことで示される。この慣例の単純さ以外の利点は、図の自己同型が図のユークリッド等長変換によって実現される点である。

代替規則としては、多重度を示すために端に数字を書く（コクセター図でよく使用される）、根の長さを示すためにノードを暗くする、またはノードをより明確にするために価数 2 のノードに 120° の角度を使用するなどがあります。

ノードの番号付けについても慣例がある。最も一般的な現代の慣例は1960年代までに開発され、（Bourbaki 1968）に示されている。^[15]

ディンキン図は、一般化カルタン行列と同等です。これは、ランク 2 のディンキン図とそれに対応する2  ×  2カルタン行列 の表で示されています。

ランク 2 の場合、カルタン行列の形式は次のようになります。

${\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}}\right]}$

多辺図は非対角カルタン行列要素⁠ ⁠${\displaystyle -a_{21},-a_{12}}$に対応し、描画される辺の数は⁠ ⁠${\displaystyle \max(-a_{21},-a_{12})}$に等しく、矢印は非単位元を指します。

一般化カルタン行列は次のような正方行列 です。 ${\displaystyle A=(a_{ij})}$

1. 対角エントリの場合、.${\displaystyle a_{ii}=2}$
2. 非対角エントリの場合、.${\displaystyle a_{ij}\leq 0}$
3. ${\displaystyle a_{ij}=0}$もし、もし、${\displaystyle a_{ji}=0}$

カルタン行列は、群が有限型（正定値行列の場合、つまりすべての固有値が正）、アフィン型（正定値ではなく半正定値の場合、つまりすべての固有値が非負）、または不定型のいずれであるかを決定します。不定型は多くの場合さらに細分化され、たとえば、コクセター群は、1 つの負の固有値を持ち、他のすべての固有値が正である場合にローレンツ型です。さらに、複数の情報源が双曲コクセター群に言及していますが、この用語には同等でない定義がいくつかあります。以下の説明では、双曲コクセター群はローレンツ型の特別な場合であり、追加の条件を満たしています。階数 2 では、すべての負の行列式カルタン行列は双曲コクセター群に対応します。しかし、一般に、ほとんどの負の行列式行列は双曲型でもローレンツ型でもありません。

有限枝には があり、アフィン枝（行列式がゼロ）には⁠ ⁠ があります。 ${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(1,1),(2,1),(3,1)}$${\displaystyle (-a_{21},-a_{12})=(2,2){\text{ or }}(4,1)}$

ディンキン図の拡張として、アフィン ディンキン図があります。これは、アフィン リー代数のカルタン行列を分類します。これらは、(Kac 1994、第 4 章、pp. 47–) で分類され、具体的には (Kac 1994、pp. 53–55) にリストされています。アフィン図は、またはとして表されます。ここで、X は対応する有限図の文字であり、指数は、アフィン図のどのシリーズに属しているかによって異なります。これらの最初の は最も一般的であり、拡張ディンキン図と呼ばれ、チルダで表され、上付き文字+が付くこともあります。^[17]のように。(2) および (3) のシリーズは、ツイスト アフィン図と呼ばれます。 ${\displaystyle X_{l}^{(1)},X_{l}^{(2)},}$${\displaystyle X_{l}^{(3)},}$${\displaystyle X_{l}^{(1)},}$${\displaystyle {\tilde {A}}_{5}=A_{5}^{(1)}=A_{5}^{+}}$

図については、Dynkin 図ジェネレーターを参照してください。

10ノードまでのアフィン群のディンキングラフをすべて示します。拡張ディンキングラフは、上記の有限グラフと同じ~族として与えられ、1つのノードが追加されます。他の有向グラフのバリエーションは、上付き値 (2) または (3) で与えられ、高次群の折り畳みを表します。これらはツイストアフィン図として分類されます。^[18]

コンパクトおよび非コンパクトな双曲型ディンキングラフの集合が列挙されている。^[19]ランク3の双曲型グラフはすべてコンパクトである。コンパクトな双曲型ディンキン図はランク5まで存在し、非コンパクトな双曲型グラフはランク10まで存在する。

M理論などの理論物理学で使用される一部の表記法では、拡張されたグループに「~」ではなく上付き文字「+」を使用し、これにより、より高次の拡張グループを定義できます。

1. 拡張Dynkin 図 (アフィン) には「+」が与えられ、1 つの追加されたノードを表します。(「~」と同じ)
2. 過度に拡張されたDynkin 図 (双曲線) には「^」または「++」が与えられ、追加された 2 つのノードを表します。
3. 3 つのノードが追加された非常に拡張されたDynkin 図には「+++」が示されます。

階数の 238 個の双曲群 (コンパクトおよび非コンパクト)は と名付けられ、階数ごとに とリストされます。 ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle H_{i}^{(n)}}$${\displaystyle i=1,2,3...}$

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非常に拡張された群は、有限群に 3 つのノードを追加することによって定義されるローレンツ群です。E ₈、 E ₇、 E ₆、 F ₄、および G _{2 は}、非常に拡張された群として終わる 6 つのシリーズを提供します。示されていない他の拡張されたシリーズは、 A _n、 B _n、 C _n、および D _nから、各nに対して異なるシリーズとして定義できます。関連するカルタン行列の行列式は、シリーズが有限 (正) からアフィン (ゼロ) へ、そして非コンパクトな双曲群 (負) へ変化する場所を決定し、1 つの時間的次元を使用して定義できるローレンツ群として終了し、M 理論で使用されます。^[20]

• 佐竹図
• 既約なTits指数のリスト
• Klassifikation von Wurzelsystemen (ルート システムの分類) (ドイツ語)

• 数学におけるディンキン図の普遍性について語るジョン・バエズ
• ラベル付きの出版品質の Dynkin 図を作成するための Web ツール (JavaScript で記述)