シフトマトリックス

数学において、シフト行列とは、上対角または下対角にのみ 1 があり、それ以外は 0である2 値行列です。上対角に 1 があるシフト行列U は、上シフト行列です。代替の下対角行列Lは、当然ながら下シフト行列として知られています。UとLの ( i , j  ) 番目の成分は、

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

クロネッカーのデルタ記号はどこにありますか。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$

例えば、5×5のシフト行列は

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

明らかに、下シフト行列の転置は上シフト行列であり、その逆も同様です。

線形変換として、下シフト行列は列ベクトルの要素を1つ下へシフトし、最初の位置にゼロが現れる。上シフト行列は列ベクトルの要素を1つ上へシフトし、最後の位置にゼロが現れる。^[1]

行列Aを下方シフト行列で事前乗算すると、Aの要素が 1 つ下方にシフトされ、最上行にゼロが表示されます。下方シフト行列で事後乗算すると、左にシフトします。上方シフト行列を含む同様の操作では、逆のシフトになります。

 明らかに、 すべての有限次元シフト行列はべき零です。n × nシフト行列S は、その次元n乗するとゼロ行列になります。

シフト行列はシフト空間に作用します。無限次元シフト行列は、エルゴード系の研究にとって特に重要です。無限次元シフトの重要な例としては、カントール空間上のシフトとして作用するベルヌーイ シフトや、連分数空間（つまり、ベール空間） 上のシフトとして作用するガウス マップなどがあります。

LとU をそれぞれn  ×  n の下部シフト行列と上部シフト行列とします。次の特性はUとLの両方に当てはまります。したがって、 Uの特性のみをリストします。

• 偏差( U ) = 0
• tr ( U ) = 0
• ランク( U ) = n − 1
• Uの特性多項式は

  ${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• U ⁿ = 0. これはケーリー・ハミルトン定理による前の性質から導かれます。
• Uのパーマネントは0 です。

次のプロパティは、UとLの関係を示しています。

Nが任意の冪零行列である場合、Nは次の形式の ブロック対角行列に類似する。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}}$

ここで、各ブロックS ₁、  S ₂、...、  S _rはシフト行列（異なるサイズの場合もある）である。^{[2] [3]}

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

それから、

${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

明らかに、多くの順列が可能です。たとえば、は、主対角線に沿って上および左にシフトされた 行列Aに等しくなります。${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS}$

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

• クロックとシフト行列
• べき零行列
• 有限型のサブシフト

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