膨張（作用素理論）

作用素論において、ヒルベルト空間H上の作用素Tの拡大は、より大きなヒルベルト空間K上の作用素であり、そのHへの制限とHへの直交射影とを組み合わせたものがTである。

より正式には、T をあるヒルベルト空間H上の有界作用素とし、H をより大きなヒルベルト空間H'の部分空間とする。 H'上の有界作用素V がT の拡大作用素である場合、

${\displaystyle P_{H}\;V|_{H}=T}$

ここで はH上の直交射影です。 ${\displaystyle P_{H}}$

V がユニタリ（それぞれ、正規、等長など）である場合、 Vはユニタリ拡大（それぞれ、正規、等長など）であると言われます。TはVの圧縮であると言われます。演算子Tがスペクトル セット を持つ場合、 V がTおよびの正規拡大であるとき、V は正規境界拡大または正規拡大であると言われます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \partialX}$${\displaystyle \sigma (V)\subseteq \partial X}$

いくつかのテキストでは、追加の条件が課されています。つまり、拡大は、次の (計算上の) プロパティを満たす必要があります。

${\displaystyle P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)}$

ここで、f(T)は、指定された関数計算(たとえば、多項式計算またはH ^∞計算)です。拡大の有用性は、 Tに関連付けられたオブジェクトをVのレベルに「持ち上げる」ことを可能にすることです。持ち上げられたオブジェクトは、より良い特性を持つ場合があります。たとえば、可換持ち上げ定理を参照してください。

ヒルベルト空間上のすべての縮約はユニタリな拡大を持つことを示すことができる。この拡大の可能な構成は次の通りである。縮約Tに対して、演算子

${\displaystyle D_{T}=(IT^{*}T)^{\frac {1}{2}}}$

は正であり、連続関数法を用いて平方根を定義する。演算子D _{T は}Tの欠陥演算子と呼ばれる。V を Tの演算子と する。

${\displaystyle H\oplus H}$

マトリックスによって定義される

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.}$

Vは明らかにTの拡大である。また、T ( I - T*T ) = ( I - TT* ) Tと極限議論^[1]は、

${\displaystyle TD_{T}=D_{T^{*}}T.}$

これを使用すると、直接計算することによって、 Vがユニタリであり、したがってTのユニタリ拡大であることが示されます。この演算子V は、 Tのジュリア演算子と呼ばれることもあります。

Tが実スカラー、例えば のとき、 ${\displaystyle T=\cos \theta }$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

これは単に θ による回転を記述するユニタリ行列です。このため、ジュリア演算子V(T) はTの基本回転と呼ばれることもあります。

ここで、上記の議論では、拡大に対して計算上の性質は要求されていないことに注意する。実際、直接計算すると、ジュリア演算子は一般に「次数2」の拡大にはならないことが分かる。つまり、

${\displaystyle T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}}$。

しかし、任意の収縮には、上記の計算特性を持つ単位膨張があることも示せます。これが Sz.-Nagy の膨張定理です。より一般的には、がディリクレ代数である場合、スペクトル集合としてを持つ任意の演算子Tには、この特性を持つ正規膨張があります。これは、すべての収縮が単位円をスペクトル集合として持つため、Sz.-Nagy の膨張定理を一般化したものです。 ${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \partialX}$