一般化クリフォード代数

数学において、一般化クリフォード代数（GCA）は、クリフォード代数を一般化した単位 結合代数であり、ヘルマン・ワイル^[1]の研究に遡ります。ワイルは、JJシルベスター（1882年）^[2]によって導入され、カルタン（1898年）^[3] と シュウィンガー^[4]によって体系化された クロックシフト演算子を利用して形式化しました。

クロック行列とシフト行列は数理物理学の多くの分野で日常的に応用されており、有限次元ベクトル空間における量子力学ダイナミクスの基礎となっている。^{[5] [6] [7]}スピノルの概念はこれらの代数にさらに関連付けられる。^[6]

一般化クリフォード代数という用語は、二次形式の代わりに高次の形式を使用して構築された結合代数を指すこともあります。^{[8] [9] [10] [11]}

n次元一般化クリフォード代数は、体F上の結合代数として定義され、 [ ^{12]によって生成される。}

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega _{jk}e_{k}e_{j}\\\omega _{jk}e_{\ell }&=e_{\ell }\omega _{jk}\\\omega _{jk}\omega _{\ell m}&=\omega _{\ell m}\omega _{jk}\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle e_{j}^{N_{j}}=1=\omega _{jk}^{N_{j}}=\omega _{jk}^{N_{k}}\,}$

∀ j、k、ℓ、m = 1、...、n。

さらに、物理的な応用に関連するあらゆる既約行列表現では、

${\displaystyle \omega _{jk}=\omega _{kj}^{-1}=e^{2\pi i\nu _{kj}/N_{kj}}}$

∀ j、k = 1、...、n、gcd。体Fは通常、複素数Cと見なされます。 ${\displaystyle N_{kj}={}}$${\displaystyle (N_{j},N_{k})}$

GCAのより一般的なケースでは、^[6]位数pのn次元一般化クリフォード代数は、すべてのj、k、および   に対してωkj = ω_という性質を持ちます。したがって、 ${\displaystyle N_{k}=p}$${\displaystyle \nu_{kj}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{j}e_{k}&=\omega \,e_{k}e_{j}\,\\\omega e_{\ell }&=e_{\ell }\オメガ \,\end{整列}}}$

そして

${\displaystyle e_{j}^{p}=1=\omega ^{p}\,}$

すべてのj、k、ℓ = 1, . . . , nに対して、

${\displaystyle \omega =\omega ^{-1}=e^{2\pi i/p}}$

1 のp乗根です。

一般化クリフォード代数の定義は文献にいくつか存在する。^[13]

クリフォード代数

（直交）クリフォード代数では、要素は反交換規則に従い、ω = −1、p = 2となります。

クロック行列とシフト行列は、シュウィンガーの標準表記法で n×n行列として表すことができる^[14]。

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\0&0&\ddots &1&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\omega &0&\cdots &0\\0&0&\omega ^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\omega ^{(n-1)}\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{n-1}\\1&\omega ^{2}&(\omega ^{2})^{2}&\cdots &\omega ^{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{n-1}&\omega ^{2(n-1)}&\cdots &\omega ^{(n-1)^{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$。

特に、V ⁿ = 1、 VU = ωUV（ワイル編組関係）、およびW ⁻¹ VW = U（離散フーリエ変換）です。e ₁ = V、e ₂ = VU、およびe ₃ = Uの場合、 ωとともに、一般化クリフォード代数（GCA）の上記の条件を満たす3つの基底要素があります。

これらの行列VとU は、通常「シフト行列とクロック行列」と呼ばれ、 1880 年代に JJ シルベスターによって導入されました。(行列Vは循環シフトを実行する巡回置換行列であることに注意してください。これらは、それぞれ対角線の上または下にのみ 1 を持つ上部シフト行列と下部シフト行列と混同しないでください)。

この場合、 ω = −1であり、

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

したがって

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{2}&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},&e_{3}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

これらはパウリ行列を構成します。

この場合、 ω = iであり、

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}},&U&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&i&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-i\end{pmatrix}},&W&={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

そして、e ₁、e ₂、e _{3 は}それに応じて決定され得る。

• クリフォード代数
• パウリ行列の一般化
• DFT行列
• 循環行列

• Fairlie, DB; Fletcher, P.; Zachos, CK (1990). 「無限次元代数と古典リー代数の三角基底」. Journal of Mathematical Physics . 31 (5): 1088. Bibcode :1990JMP....31.1088F. doi :10.1063/1.528788.
• Jagannathan, R. (2010). 「一般化クリフォード代数とその物理的応用について」arXiv : 1005.4300 [math-ph].(『アラディ・ラマクリシュナンの数理科学における遺産』（pp. 465–489）。Springer、ニューヨーク、NY。)
• 森永 憲一; 野野 哲也 (1952). 「高次形式の線形化とその表現について」.広島大学理学雑誌A編. 16 :13–41. doi : 10.32917/hmj/1557367250 .
• モリス、AO (1967)。「一般化されたクリフォード代数について」。Quart . J. Math (オックスフォード. 18 (1): 7–12。Bibcode :1967QJMat..18....7M。doi :10.1093/ qmath /18.1.7。
• モリス、 AO (1968)。「一般化されたクリフォード代数 II について」。Quart . J. Math (オックスフォード. 19 (1): 289–299。Bibcode :1968QJMat..19..289M。doi :10.1093/qmath/19.1.289。