ラグ演算子

時系列分析では、ラグ演算子（L）またはバックシフト演算子（B）は時系列の要素に作用して、前の要素を生成します。たとえば、ある時系列が与えられたとします。

${\displaystyle X=\{X_{1},X_{2},\dots \}}$

それから

${\displaystyle LX_{t}=X_{t-1}}$全ての${\displaystyle t>1}$

または同様にバックシフト演算子Bに関して、すべての に対して となる。同様に、この定義は次のように表すこともできる。 ${\displaystyle BX_{t}=X_{t-1}}$${\displaystyle t>1}$

${\displaystyle X_{t}=LX_{t+1}}$全ての${\displaystyle t\geq 1}$

ラグ演算子（バックシフト演算子も同様）は任意の整数乗にすることができるので、

${\displaystyle L^{-1}X_{t}=X_{t+1}}$

そして

${\displaystyle L^{k}X_{t}=X_{tk}.}$

ラグ演算子の多項式を使用することができ、これはARMA（自己回帰移動平均）モデルの一般的な表記法です。たとえば、

${\displaystyle \varepsilon_{t}=X_{t}-\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}X_{ti}=\left(1-\sum_{i=1}^{p}\varphi_{i}L^{i}\right)X_{t}}$

AR( p )モデルを指定します。

ラグ演算子の多項式はラグ多項式と呼ばれ、例えばARMAモデルは次のように簡潔に指定できる。

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}}$

ここで、およびはそれぞれラグ多項式を表す。 ${\displaystyle \varphi (L)}$${\displaystyle \theta (L)}$

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}}$

そして

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,}$

ラグ演算子の多項式は、変数の数や多項式と同様の乗算と除算の規則に従います。たとえば、

${\displaystyle X_{t}={\frac {\theta (L)}{\varphi (L)}}\varepsilon _{t},}$

と同じ意味です

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.}$

変数の多項式と同様に、ラグ演算子の多項式は、多項式の長除算を使用して別の多項式で割ることができます。一般に、それぞれが有限次数（最高指数）を持つ場合、そのような多項式を別の多項式で割ると、無限次数の多項式になります。

消滅演算子 は、負のべき乗（将来の値）を持つ多項式の要素を削除します。 ${\displaystyle [\]_{+}}$

は係数の合計を表す ことに注意してください。${\displaystyle \varphi \left(1\right)}$

${\displaystyle \varphi \left(1\right)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}}$

時系列解析では、第1差分演算子:${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta X_{t}&=X_{t}-X_{t-1}\\\Delta X_{t}&=(1-L)X_{t}~.\end{aligned}}}$

同様に、2 番目の差分演算子は次のように動作します。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\Delta X_{t})&=\Delta X_{t}-\Delta X_{t-1}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)\Delta X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)(1-L)X_{t}\\\Delta ^{2}X_{t}&=(1-L)^{2}X_{t}~.\end{aligned}}}$

上記のアプローチはi番目の差分演算子 に一般化される。${\displaystyle \Delta ^{i}X_{t}=(1-L)^{i}X_{t}\ .}$

確率過程においては、以前の情報セットを与えられた変数の期待値を考慮するのが一般的です。 を時刻tにおける共通の知識であるすべての情報とします(これは期待値演算子の下に添え字で表されます) 。すると、 j時間ステップ後の将来のXの実現の期待値は次のように同等に記述できます。 ${\displaystyle \Omega _{t}}$

${\displaystyle E[X_{t+j}|\Omega _{t}]=E_{t}[X_{t+j}].}$

これらの時間依存の条件付き期待値では、予測変数の日付のみを調整するバックシフト演算子 ( B ) と、予測変数の日付と情報セットを均等に調整するラグ演算子 ( L )を区別する必要があります。

${\displaystyle L^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t-n}[X_{t+j-n}],}$

${\displaystyle B^{n}E_{t}[X_{t+j}]=E_{t}[X_{t+j-n}].}$

• 自己回帰モデル
• 自己回帰移動平均モデル
• 移動平均モデル
• シフト演算子
• Z変換

• ハミルトン、ジェームズ・ダグラス（1994年）。時系列分析。プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-04289-6。
• ヴェルベック、マルノ（2008年）。現代計量経済学ガイド。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0-470-51769-7。
• Weisstein, Eric. 「Wolfram MathWorld」。WolframMathworld: 差分演算子。 Wolfram Research 。2017 年11 月 10 日閲覧。
• Box, George EP; Jenkins, Gwilym M.; Reinsel, Gregory C.; Ljung, Greta M. (2016).時系列分析: 予測と制御(第 5 版). ニュージャージー: Wiley. ISBN 978-1-118-67502-1。