アーベル方程式

アーベル方程式は、ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられた、次のよう な関数方程式の一種である。

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$

または

${\displaystyle \alpha (f(x))=\alpha (x)+1}$。

αが可逆な場合、形式は同等です。hまたはαはfの反復を制御します。

2番目の式は次のように書ける。

${\displaystyle \alpha^{-1}(\alpha(f(x)))=\alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\,.}$

x = α ⁻¹ ( y )とすると、この式は次のように書ける。

${\displaystyle f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.}$

既知の関数f ( x )に対して、関数α ⁻ 1≡hの関数方程式を解くことが問題となる。α − ¹ (0)=1などの追加要件を満たすことも可能である。

実パラメータsに対する変数変換s ^{α ( x )} = Ψ( x )により、アーベル方程式は有名なシュレーダー方程式Ψ ( f ( x )) = s  Ψ( x )に変換されます。

さらに、F ( x ) = exp( s ^{α ( x )} )をBöttcher の式F ( f ( x ) ) = F ( x ) ^sに変更します。

アーベル方程式は、平行移動方程式の特殊なケースであり、簡単に一般化できる。^[1]

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,}$

例えば、 ${\displaystyle \omega (x,1)=f(x)}$

${\displaystyle \omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)}$。 ( ω ( x ,0) = xに注目してください。)

アベル関数α ( x )はさらに、リー移流（1パラメータリー群）の標準座標を提供します。

^{当初は、より一般的な形式[2] [3]}の方程式 が報告されました。単一変数の場合でも、方程式は自明ではなく、特別な解析が可能です。^{[4] [5] [6]}

線形伝達関数の場合、解はコンパクトに表現できる。^[7]

テトレーション方程式は、 f = expであるアーベル方程式の特殊なケースです。

整数引数の場合、この式は再帰的手続きをエンコードする。例えば、

${\displaystyle \alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~,}$

等々、

${\displaystyle \alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~.}$

アーベル方程式は、すべてのおよびすべてのに対してである場合に限り、に少なくとも1つの解を持ちます。ここで、 はn回反復される関数です。^[8]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f^{n}(x)\neq x}$${\displaystyle f^{n}=f\circ f\circ ...\circ f}$

存在と一意性の定理は次の通りである^{[9] ：定理B}

を解析的、つまりテイラー展開を持つとします。アーベル方程式の実数解析解を求めます。 ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\textstyle \alpha \circ h=\alpha +1}$

実解析解は、次の条件が両方とも満たされる場合にのみ存在します。 ${\displaystyle \alpha}$

• ${\displaystyle h}$には不動点がないので、となるものは存在しません。${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle h(y)=y}$
• の臨界点の集合 (ただし) は、すべての に対して である場合に上方に有界となり、すべての に対してである場合に下方に有界となります。${\displaystyle h}$${\displaystyle h'(y)=0}$${\displaystyle h(y)>y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle h(y)<y}$${\displaystyle y}$

この解は、次の特性を持つ 標準解が存在するという意味で本質的に一意です。${\displaystyle \alpha _{0}}$

• の臨界点の集合は、すべての に対して である場合に上方に有界であり、すべての に対して である場合に下方に有界です。${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle h(y)>y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle h(y)<y}$${\displaystyle y}$
• この標準解は他のすべての解を生成する。具体的には、すべての実解析解の集合は次のように与えられる。

$${\displaystyle \{\alpha _{0}+\beta \circ \alpha _{0}|\beta :\mathbb {R} \to \mathbb {R} {\text{ は解析的であり、周期は 1 です}}\}}.}$$

解析解（ファトゥ座標）は、放物線状の固定点の周りのセクターにおけるべき級数によって定義された関数の漸近展開によって近似することができる。^[10]解析解は定数を除いて一意である。^[11]

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• M. Kuczma、「一変数関数方程式」、Polish Scientific Publishers、ワルシャワ (1968)。
• M. Kuczma、「反復関数方程式」第1017巻、ケンブリッジ大学出版局、1990年。