デュアルバンドル

数学において、双対束はベクトル束に対する演算であり、ベクトル空間における双対性の演算を拡張したものである。

ベクトル束の双対束${\displaystyle \pi :E\to X}$ベクトルバンドル${\displaystyle \pi ^{*}:E^{*}\to X}$その繊維は、${\displaystyle E}$。

同様に、${\displaystyle E^{*}}$Homバンドルとして定義できる${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),}$すなわち、射のベクトル束${\displaystyle E}$自明な線束へ$\displaystyle \mathbb {R} \times X\to X.}$

局所的な自明化が与えられた場合${\displaystyle E}$遷移関数付き${\displaystyle t_{ij},}$ローカルな矮小化${\displaystyle E^{*}}$同じ開いたカバーによって与えられる${\displaystyle X}$遷移関数付き${\displaystyle t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}}$（転置の逆）。双対束${\displaystyle E^{*}}$ファイバー束構成定理を用いて構築される。特殊なケースとして：

• 関連束の双対束は、構造群の双対表現に関連付けられた束である。
• 微分可能多様体の接束の双対束は、その余接束である。

ベーススペース${\displaystyle X}$がパラコンパクトかつハウスドルフである場合、実数有限ランクのベクトル束となる。${\displaystyle E}$そしてその双${\displaystyle E^{*}}$ベクトル束として同型である。ただし、ベクトル空間の場合と同様に、同型性の自然な選択は存在しない。${\displaystyle E}$内部製品を備えています。

これは複素ベクトル束の場合には当てはまりません。例えば、リーマン球面上のトートロジー線束は、その双対と同型ではありません。${\displaystyle E^{*}}$複素ベクトル束の${\displaystyle E}$共役束と同型である${\displaystyle {\overline {E}},}$しかし、同型性の選択は非標準的である。${\displaystyle E}$エルミート積を備えています。

ホームバンドル${\displaystyle \mathrm {ホム} (E_{1},E_{2})}$2 つのベクトル束の は、標準的にテンソル積束と同型である${\displaystyle E_{1}^{*}\otimes E_{2}.}$

射が与えられた場合${\displaystyle f:E_{1}\to E_{2}}$同じ空間上のベクトル束の射が存在する${\displaystyle f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}}$それらの双対束の間（逆順）は、各線形写像の転置としてファイバーごとに定義される。${\displaystyle f_{x}:(E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.}$したがって、双対束演算は、ベクトル束の圏とその圏自身への射の反変関手を定義する。

• 今野宏 (2013).微分幾何学. 〈現代数学への入門〉。 東京: 東京大学出版会. ISBN 9784130629713。