方向付け束

代数トポロジーの数学分野において、n次元多様体X上の向き付け層は、 X上の局所定数層o _Xであり、点xにおけるo _Xの茎は局所ホモロジー群である。

${\displaystyle o_{X,x}=\operatorname {H} _{n}(X,X-\{x\})}$

（整数係数またはその他の係数において）。

させて${\displaystyle \オメガ _{M}^{k}}$多様体M上の微分k形式の層とする。nが Mの次元である場合、層は

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{M}=\オメガ _{M}^{n}\otimes {\mathcal {o}}_{M}}$

これは、 M上の（滑らかな）密度の層と呼ばれます。このことの要点は、微分形式は多様体が向き付けられている場合にのみ積分できるのに対し、密度は向きや向き付け可能性に関係なく常に積分できるということです。積分写像は次のようになります。

${\displaystyle \textstyle \int _{M}:\Gamma _{c}(M,{\mathcal {V}}_{M})\to \mathbb {R} .}$

Mが向き付けられている場合、つまり、Mの接束の向き付け層が文字通り自明である場合、上記は通常の微分形式の積分に帰着します。

• ヴェルディエ双対性においては、双対化複体を用いた定義も存在する。特に、相対双対化複体を用いて相対向き付け層を定義することができる。

• 柏原 正樹; Schapira、Pierre (2002)、Sheaves on Manifolds、ベルリン: Springer、ISBN 3540518614

• 微分可能多様体の2種類の向き付け可能性／向き付け