例外的な逆像関数

数学、より具体的には位相幾何学と代数幾何学の一分野である層理論において 、例外的な逆像関数は層の一連の像関数の中で 4 番目で最も洗練されたものであり、ヴェルディエ双対性を最も一般的な形で 表現するために必要です。

f : X → Y を位相空間の連続写像またはスキームの射とする。このとき例外的な逆像は関手である。

R f ^! : D( Y ) → D( X )

ここで、D(–)は固定された環上のアーベル群または加群の層 の導来カテゴリを表します。

これは、コンパクトな台を持つ直接像の全導来関手R f _!の右随伴として定義されます。その存在は、単一性と同様に、R f _!の特定の性質と随伴関手の存在に関する一般的な定理 から生じます。

表記法 R f ^{!は、導出関数が R} f ^!となる関数f ^{! が}一般に存在しない限り、表記法の乱用です。

• f : X → Yが局所閉空間の浸漬である場合、次のように定義できる。

f ^! ( F ) := f ^∗ G、

ここでG はFの部分層であり、 Yのある開集合U上の切断はXに台が含まれる切断s ∈ F ( U )である。関数f ^{! は}左正確であり、抽象ナンセンスによって存在が保​​証されている上記の R f ^{!は、まさにこの}f ^!の導来関数である。さらに、f ^{! は}f _!の右随伴でもある。

• もう少し一般的に言えば、エタール射などの任意の準有限射に対しても同様のことが言えます。
• f が開いた浸漬である場合、例外的な逆像は通常の逆像に等しくなります。

を 次元の滑らかな多様体とし、すべてを 1 つの点にマッピングする唯一のマップとします。リング の場合、 はシフトされた方向の層 であることがわかります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f:X\rightarrow *}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle f^{!}\Lambda =\omega _{X,\Lambda }[d]}$${\displaystyle \Lambda }$

一方、 を次元の滑らかな-多様体とします。 が構造射を表す場合、 は上のシフトされた標準層です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f:X\rightarrow \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle f^{!}k\cong \omega _{X}[d]}$${\displaystyle X}$

さらに、 を次元の滑らかな -多様体とし、において素逆行列が成り立つものとします。このとき、はテイトツイストを表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }\cong \mathbb {Q} _{\ell }(d)[2d]}$${\displaystyle (d)}$

コンパクトに支えられたコホモロジーの定義を下の叫びプッシュフォワードとして思い出し、最後のは上の定数層を意味し、残りは、、、および 上の定数層を意味することに留意してください。${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle *}$${\displaystyle f:X\to *}$

${\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}(X)^{*}\cong \operatorname {Hom} \left(f_{!}f^{*}\mathbb {Q} _{\ell }[n],\mathbb {Q} _{\ell }\right)\cong \operatorname {Hom} \left(\mathbb {Q} _{\ell },f_{*}f^{!}\mathbb {Q} _{\ell }[-n]\right),}$

上記の計算により、-進ポアンカレ双対性が与えられる。${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \mathrm {H} _{c}^{n}\left(X;\mathbb {Q} _{\ell }\right)^{*}\cong \mathrm {H} ^{2d-n}(X;\mathbb {Q} (d))}$

付加条件を繰り返し適用することから。

• Iversen、Birger (1986)、層のコホモロジー、Universitext、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-16389-3、MR  0842190位相的な設定を扱う
• アーティン、マイケル(1972)。アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン＝ルイ・ヴェルディエ（編）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. ３．数学の講義ノート（フランス語）。 Vol. 305.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 pp.vi+640。土井：10.1007/BFb0070714。ISBN 978-3-540-06118-2。 スキーム上のエタール層のケースを扱います。Exposé XVIII、セクション 3 を参照してください。
• Gallauer, Martin、「6つの関手形式論入門」(PDF)、pp.10-11二重性ステートメントを示します。